Основные принципы построения экономической модели

     Однако  в обоих этих случаях не учитывается степень тяжести болезни. Попытка такого учета приводит к необходимости расчета средневзвешенного показателя заболеваемости, но здесь сразу возникает проблема обоснования адекватных “весов”. Тяжесть болезни может определяться, например, по степени ее опасности, рассчитываемой как доля обусловленных ею смертных случаев в общем их количестве; на основании субъективного показателя “дискомфортности” состояния больного и т. п.

     Аналогичные проблемы должны быть решены при обосновании  показателей климата. Для этих целей обычно используются средняя температура воздуха, влажность, число солнечных дней в году и т. п., а также построенные на их основе некоторые комплексные характеристики.

     Заметим, что в отсутствие объективных  данных в эконометрических исследованиях допускается замена одного показателя другим, косвенно отражающим то же явление. Например, среднедушевой доход как показатель материального уровня жизни может быть заменен на среднегодовой товарооборот на одного жителя региона и т. п.

     Неправильный выбор показателя, представляющего рассматриваемое явление в модели, может существенно повлиять на ее качество. В этой связи к проблеме обоснования состава показателей (переменных) эконометрической модели на практике следует относиться с предельным вниманием.

     Предположим, что общее число независимых  факторов, которые целесообразно включить в модель, равно n,  i=1, 2,..., n, и на основе  измеренных значений всех переменных в моменты времени t=1, 2,..., T  был сформирован массив исходных данных, который будет рассматриваться в качестве информационной основы для построения эконометрической модели.

     Данный  массив образован вектором-столбцом значений зависимой переменной y=(y₁, y₂, ... , y_T)¢^** и матрицей значений независимых переменных

      Х =    

     размерностью  T´n, таким образом, что каждому элементу y_t вектора y соответствует строка матрицы Х.

     Рассматривая  проблему выбора конкретного вида функционала f(a, x_t) из выражения (1.1) заметим, что в практике эконометрических исследований используется достаточно широкий круг функциональных зависимостей между переменными. Приведем некоторые, наиболее часто используемые, их виды:

     1) линейная 

                   y_t =a₀ +a₁ х_1t +...+a_n х_nt +e_t,                       (1.2) 

     2) правая полулогарифмическая 

               y_t=a₀ +a₁ lnx_1t +...+a_n lnх_nt +e_t,                (1.3) 

     3) степенная  

       

     4) гиперболическая 

                 y_t =a₀ +a₁ /х_1t +...+a_n /х_nt+e_t,                    (1.5) 
 

     5) логарифмическая гиперболическая 

          lny_t =a₀ +a₁ /х_1t +...+a_n /х_nt+e_t,                          (1.6) 

     6) обратная линейная (функция Торнквиста) 

             1/y_t=a₀+a₁ /х_1t+...+a_n /х_nt  +e_t,                          (1.7) 

     7) функция с постоянной эластичностью замены   

        

     где l и r – также параметры функции. 

     8) экспоненциальная функция 

       

     где b₁,..., b_n – также параметры функции.

     На  практике могут встретиться и  комбинации рассмотренных выше зависимостей. Например, 

     

 

     и т. п.

     Здесь необходимо отметить, что большинство  функций f(a, x_t) с помощью определенного набора преобразований могут быть приведены к линейной форме (1.2). Например, если у и х_i связаны зависимостью у~1/х_i (выражение (1.5)), то, введя переменные u_i=1/х_i, получим выражение (1.2) с точностью до преобразования исходных факторов.

     В практических исследованиях часто, используя преобразование u_i=lnх_i   и z=lny, степенную модель (1.4) преобразуют к линейному виду, связывающему логарифмы переменных у и х_i. Однако заметим, что в данном случае с точки зрения математики такое преобразование не совсем корректно из-за “аддитивности” ошибки в выражении (1.4). Вследствие этого значения коэффициентов линейной относительно логарифмов переменных модели нельзя в общем случае полагать равными соответствующим значениям степенного аналога.

     На  примере линейной эконометрической модели покажем еще одну возможную форму представления моделей такого типа – моделей, в которых отсутствует свободный коэффициент a₀. В общем случае такая модель представляется в следующем виде:

     

     Найдем  взаимосвязи между переменными  y_t и , х_it   и и определим, чему равен коэффициент a₀. Для этого просуммируем по индексу t правую и левую части модели (1.2).  Получим 

     

 

     Поскольку   что отражает свойство равенства нулю математического ожидания ошибки (M[e_t]= ), то, разделив правые и левые части этого выражения на Т, получим 

                              

     откуда  следует, что

       

     Вычтем a₀ из уравнения (1.2). Получим для всех t 

                  

     Из (1.12) непосредственно вытекает, что

                                     

     Операция (1.13) определяет так называемые центрированные переменные и называется операцией  центрирования. Отметим, что для центрированных переменных справедливы следующие очевидные соотношения: 

                                         

     Использование центрированных переменных иногда значительно  упрощает процедуры получения некоторых результатов, делает более наглядной их интерпретацию.

     При этом следует помнить, что исходная информация для такой модели (вектор и матрица ) получается путем вычитания из каждого элемента каждого столбца соответствующего среднего (по столбцу) значения.

     Как было отмечено выше, конкретный вид  функциональной зависимости f(a, x_t) может выражать какую-либо содержательную концепцию, отражающую предполагаемый характер взаимосвязей между процессами y_t   и х_it, i=1, 2,..., n.

     В основе использования степенной функции (1.4), например, обычно лежит концептуальное допущение о постоянстве частной эластичности выпуска у по каждому ресурсу (фактору) х_i. Напомним, что частная эластичность в точке  t показывает, на сколько процентов изменится зависимая переменная у_t при изменении фактора х_ti на 1% при условии постоянства значений остальных факторов в этой точке. Частная эластичность определяется следующим выражением: 

                     

     Подставим вместо у_t   в правую часть выражения (1.15) функцию . Учитывая, что получим

                                                Э_i = a_i .                                     (1.16) 

     Таким образом, коэффициент модели (1.4) a_i сразу определяет значение эластичности у  по фактору х_i  на всем интервале (1,Т).

     Удобство  экономической интерпретации параметров модели (1.4), относительная простота ее записи и послужили причиной ее широкого использования особенно в макроэкономических исследованиях.

     Особую  известность получили различные  модификации двухфакторной функции Кобба-Дугласа 

                                   

     которые обычно применяется в макроэкономических исследованиях при анализе взаимосвязи между объемом полученного валового внутреннего продукта (y) и используемыми ресурсами (х₁  – основные фонды и х₂ – затраты живого труда). Между собой эти модификации, в основном, различаются ограничениями, накладываемыми на значения коэффициентов a₁ и a₂, а также способом выражения и содержательной интерпретацией коэффициента a₀. Например, “классический” вариант функции (1.17) предполагает, что значения a₁ и a₂  удовлетворяют следующим ограничениям: a₁+a₂=1; a₁, a₂³0. В других вариантах этой функции дополнительно вводят сомножитель е^rt, выражающий влияние на валовый продукт временного фактора, характеризующего научно-технический прогресс и т. п.

     Функция (1.8) обычно используется в предположении  о постоянстве эластичности замещения одного фактора другим. Например,  если речь идет о замене фактора “труд”(L) фактором “капитал” (K), то значение коэффициента эластичности замещения показывает, на сколько процентов измениться капиталовооруженность (K/L) при изменении предельной нормы замещения труда капиталом (N_KL =–dK /dL) на 1% при условии, что зависимая переменная не изменится. Значения всех других факторов при этом предполагаются также неизменными. В общем случае, эластичность замещения i-го фактора j-м определяется выражением: