Гидравлика и пневмосистемы

 z — координата точки, в которой определяется давление р;

 h = z₀ — z — глубина погружения рассматриваемой точки по отношению к плоскости с координатой z₀ ;

g — ускорение свободного падения (рис. 1.1).

 

 

 

                                     (1.31)

где   р₀ ,   ρ₀— соответственно абсолютное давление и плотность газа в точках горизонтальной плоскости с координатой z₀

 

                               (1.32)

 

 

 

Рис. 1.1. Закрытый сосуд с покоящейся жидкостью (справа показана вертикальная открытая трубка —пьезометр)

 

 

z  = const.  

 

 

                                  (1.33)

 

где   p_a — атмосферное давление.

 

Если р₀ > р_а , то Dр> 0, и пьезометрическая поверхность располагается выше уровня жидкости в сосуде;

если p₀ <р_а , то Dр <0, и она находится ниже уровня жидкости;

 если р₀ = р_а, то пьезометрическая поверхность совпадает с поверхностью жидкости.

 

Вопросы по теме 1.3.

 

1.  Какие  виды давления Вы знаете и какими приборами они измеряются?

2.  Каково  численное соотношение между    единицами давления "паскаль"  и "техническая атмосфера"?

3.  Как  запишется основное уравнение  гидростатики, если известно р_И   на свободной поверхности жидкости и требуется определить абсолютное давление в нижерасположенной точке?

4.  Какой  вид давления обязательно используется  в формулах барометрической и барометрического нивелирования?

5.  Где  расположена пьезометрическая поверхность  для открытого сосуда с жидкостью?           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Сила статического давления жидкости  на плоскую стенку

 

 

 

 

 

 

 

         (1.34)

где р_Т — абсолютное давление в центре тяжести смоченной части стенки (точка T на рис. 1.2);

р_a — атмосферное давление; s—площадь смоченной части стенки;

Dp = р₀ - Р_а = rgh — разность между абсолютным давлением p₀ на свободной поверхности жидкости и атмосферным давлением;

 h_T — расстояние по вертикали от центра тяжести смоченной части стенки до свободной поверхности жидкости;

h_П — расстояние по вертикали от свободной поверхности до пьезометрической плоскости         (h_T >0; h_П  >0 или h_П  <0).

 

Точка пересечения  линии действия силы c плоскостью стенки называется центром давления (точка D на рис. 1.2).

 

Положение центра давления относительно пьезометрической плоскости определяется выражением

 

,                                           (1.35)

 

где l_D и l_T — соответственно расстояния до центра давления и центра тяжести, отсчитываемые вдоль плоскости стенки от линии пересечения ее с пьезометрической плоскостью (см. рис. 1.2);

J — момент инерции площади смоченной части стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через ее центр тяжести.

                    

Рис. 1.2. Наклонная плоская стенка АВ, на которую действует жидкость, находящаяся в закрытом резервуаре, с силой Р

 

Расстояние  между центром давления и центром  тяжести равно

 

                      (1.36)

 

где  l_T можно найти по формуле (см. рис. 1.2)

 

.                                (1.37)

 

 

1)  при   h_П  + h_T  > 0 центр давления лежит ниже центра тяжести, а сила Р действует на стенку со стороны жидкости;

2)  при h_П  + h_T < 0 (вакуум в центре тяжести) центр давления лежит выше центра тяжести, а сила Р  действует со стороны несмоченной поверхности стенки;

3)  при  h_П  + h_T = 0 сила Р = 0, поэтому понятие центра давления теряет смысл; в этом случае верхняя часть стенки находится под действием сил, направленных внутрь жидкости, а нижняя — от нее, поэтому возникает пара сил.

 

 

 

Для несимметричных стенок

 

,                                             (1.38)

где — J_{x' l'}   центробежный момент инерции смоченной площади относительно осей х'   и l' (ось l' совпадает по направлению с осью l, но ее начало отсчета лежит в точке Т).

 

Вопросы по теме 1.4.

 

1.  Как  определяется равнодействующая  сил давления на твердую поверхность  и что понимается под символом р_T?

2. Может ли  равнодействующая сил давления  действовать с внешней стороны  твердой поверхности, где жидкости  нет?

3. Что такое  центр давления?

4. Может ли  центр давления располагаться  выше центра тяжести смоченной части плоской поверхности?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5. Сила статического давления жидкости  на криволинейные стенки. Закон  Архимеда

 

Равнодействующая  сил давления Р определяется из выражения

 

                    (1.39)

 

Положение в  пространстве вектора силы задано направляющими косинусами

 

  (1.40)

 

Примем, что  ось z направлена вертикально вверх.

Горизонтальная  составляющая   Р_Г (Р_x   или   Р_y ) определяется по формуле

P_Г = (p_T + p_а) s_B  ,                                        (1.41)

 

где s_b — площадь проекции рассматриваемой криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, нормальную к соответствующей оси координат ( yoz для силы Р_х , xoz для силы Р_y );

 р_T — абсолютное давление в центре тяжести площади s_b ;

 р_а — атмосферное давление.

 

Направление действия силы P_Г зависит от знака величины р_Т   — р_а (при р_Т - р_а > 0 - наружу, при р_Т - р_а < 0 - вовнутрь жидкости), причем линия ее действия проходит через центр давления площади s_b .

 

Вертикальная  составляющая силы   определяется весом тела давления

 

                                         P_z = rgV_Т.Д.. ,                                    (1.42)

 

где V_Т.Д.. — объем тела давления.

 

Рис. 1.3. Схема сосуда с жидкостью, ограниченного криволинейными поверхностями (показаны элементарные составляющие сил давления жидкости на стенки сосуда)

 

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила _A, равная по величине весу жидкости в объеме погруженной части тела V:

                                           (1.43)

 

 

 

Вопросы по теме 1.5.

 

1.  В чем  сходство и различие формул  для определения горизонтальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную поверхность и силы давления на плоскую поверхность?

2. Что называется "телом давления"?

3.  Если  в нижней точке криволинейной  поверхности в жидкости, находящейся над ней, вакуум, то как по отношению к этой поверхности располагается   "тело давления" и каково  направление вертикальной составляющей силы давления?

4. Если тело  тонет, то куда направлена Архимедова  сила?

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6. Относительный покой жидкости

 

В случае относительного покоя на частицы жидкости массой dm действуют две массовые силы: сила тяжести d = gdm и

сила инерции  переносного движения ( — dm), где — ускорение переносного движения.

 

 

1.6.1. Прямолинейное равноускоренное  движение сосуда

 

При движении сосуда с постоянным ускорением

в плоскости xoz под углом a к горизонту (рис. 1.4) вектор напряжения массовых сил              

одинаков для всех точек жидкости.

                          

Рис. 1.4. Сосуд с жидкостью, движущийся вдоль  наклонной плоскости вправо с постоянным ускорением а

 

 

Дифференциальное  уравнение гидростатики Эйлера   (1.28)   в рассматриваемом случае принимает вид

 

dp = r (X dx + Y dy + Z dz) = — r  acos a dx —r (g+asin a)dz.

 (1.44)

Изобарические поверхности (поверхности уровня) —  параллельные плоскости, наклоненные  к горизонтали под углом j , для которого

                        (1.45)

 

Распределение давления в жидкости

p=p₀ + r a (x₀ – x) cos a + r (g + a sin a)(z₀ – z)         (1.46)

где x₀ , z₀ — координаты произвольной фиксированной точки свободной поверхности, определяемые объемом жидкости, находящейся в сосуде;   

 Р₀ — абсолютное давление на свободной поверхности.

 

 

Распределение давления по вертикали при х = const (h — глубина точки под свободной поверхностью)

p = p₀ + r (g + a sin a)h.                         (1.47)

При вертикальном движении сосуда (если a = 90° , то ускорение направлено вверх, если a = 270° — вниз) j = 0, и свободная поверхность горизонтальна.

Распределение давления по вертикали в этом случае

p = p₀ + r (g ± a)h.                                  (1.48)

При горизонтальном движении сосуда (a = 0) тангенс угла наклона свободной поверхности к горизонту равен

                                           (1.49)

и распределение давления по вертикали  имеет вид

p=p₀ + rgh ,                                   (1.50)

т.е. такое же, как в неподвижном  сосуде.

 

1.6.2. Равномерное вращение сосуда  вокруг вертикальной оси

 

В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью  со (рис. 1.5) вектор напряжения массовых сил

                                       (1.51)

а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид

 

dp = r [w² ( xdx +ydy ) – gdz] = r (w ² rdr – gdz).     (1.52)

Уравнение свободной  поверхности (р = р₀ )

                                      (1.53)

Уравнение любой  изобарической поверхности (р = const)

           (1.54)

где z₀ - координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

 

Высота параболоида  свободной поверхности (R - радиус сосуда)

 

H = w ²R²/2g.                                         (1.55)

 

Координата z₀ его вершины определяется объемом жидкости в сосуде. Если начальный уровень в сосуде h₀   , то

z₀ = h -                                     (1.56)

откуда h₁ = h₀ –z₀ = H/2.

 

Закон распределения  давления в жидкости

                           (1.57)

 

 

Рис. 1.5. Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоянной угловой скоростью w

 

Изменение давления по вертикали (h — глубина точки под свободной поверхностью) :

 

Р = Р₀ + r gh,

 

т.е. такое же, как в неподвижном  сосуде.

 

Вопросы по теме 1.6.

 

1 . Какие  силы действуют на жидкость  при ее относительном покое?

2. Каковы  форма изобарических поверхностей в жидкости и описывающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоянным ускорением?

3. Каковы  форма изобарических поверхностей  в жидкости и описывающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой скоростью и вертикальной осью вращения?

3. Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при ее относительном покое?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Основные понятия кинематики  и динамики жидкости