Автор: Пользователь скрыл имя, 24 Января 2012 в 13:07, контрольная работа
Задача 1. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти:
1) длину ребра
2) угол между ребрами и ;
3) угол между ребром и гранью ;
4) площадь грани ;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой ;
7) уравнение плоскости ;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .
1 Контрольная работа№1.Элементы векторной, линейной алгебры
и аналитической геометрии 4
2 Введение в математический анализ. Производная и
ее приложения 9
3 Функции нескольких переменных. 14
4 Контрольная работа № 2. Неопределенный и определенный
интегралы 17
5 Кратные интегралы 21
6 Дифференциальные уравнения 23
7 Ряды
Задача
1. Найти неопределенные интегралы.
1.
д) .
Решение.
д) .
Задача 2. Вычислить определенные интегралы.
1.
Решение.
Задача 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится.
1.
Решение.
Задача
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
заданными линиями. Сделать чертеж.
1.
.
Решение.
у= - и у =
Построим графики функций и найдем их точки пересечения.
Точки пересечения:
- = ;
D=25-4*6=1
Площадь фигуры, ограниченной линиями находится по формуле:
Задача
5. Вычислить приближенное значение
определенного интеграла
с помощью формулы Симпсона, разбив
отрезок интегрирования на 10 частей. Все
вычисления проводить с округлением до
третьего десятичного знака.
1. .
Решение.
1.
Кратные
интегралы
Задача
6. Вычислить двойной интеграл по области
D . Область интегрирования D изобразить
на чертеже. Решить задачу вторым способом
поменяв порядок интегрирования.
1. D : y = x2 , y = 2 – x2 .
Решение.
Задача 7. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями.: z = 0 , z – x = 0 , y = 0 , y = 4 , Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу .
Решение.
Тело изображено на рисунке
Объем данной фигуры определим следующей формулой:
Дифференциальные уравнения
Задача 1. Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
Решение.
3x + xy + y = 0;
Интегрируем:
;
Следовательно
;
.
Задача 2. Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) найти общее решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
б) y - 3y = e , y( 0 ) = -2, y ( 0 ) = 1
Решение:
а) xy + y = x .
примем:
запишем в виде системы
б) y
- 3y
= e
, y( 0 ) = -2, y
( 0 ) = 1
Решение:
Примем
Пусть
Тогда
Отсюда следует ;
Т.к. y(0)=-2, то
Следовательно
, тогда получим
Задача 3.
Решение.
По условию задачи , т.е. работа силы, действующей в направлении движения, пропорциональна пути от начала движения ( коэффициент пропорциональности k). С другой стороны , т.е. получаем, что . Так как сила действует в направлении движения, то , значит F=k.
Примем
за координатную ось Ох горизонтальную
прямую, а положение точки при
t=0 – за начало координат.
Изобразим материальную точку в произвольном положении на расстояние х от ее начального положения. На точку действуют -сила тяжести, - реакция плоскости, - сила по условию задачи. Начальные условия: t=0, . Составим дифференциальное уравнение движения:
,
Используя условие, что t=0, v=0,
Заменив v на получим
Используя
условие t=0, x=0, 0=0+C2, C2=0
Окончательно будем иметь:
Задача 4. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений. Сделать проверку найденного решения.
1.
Решение:
Поделим первое уравнение на второе, получим
;
Отсюда следует
Найдем х:
Итак,
имеем решение системы
Ряды
Задача 5. Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся.
1.
Решение.
Если
Тогда
Рассмотрим наименьший ряд:
, значит данный ряд сходиться.
Задача 6. Определить область сходимости данных рядов.
1.
Решение.
Если
Тогда
При х<1
При х>1
При х=1
Значит, областью сходимости являются
-1<x<1.
Задача 7. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить график данной функции f(x), продолженной с данного интервала периодически на всю числовую ось.
1. f(x) = x +1 в интервале .
Решение.
Рассмотрим функцию
Разложим ее в ряд Фурье на интервале . Функция периодична на отрезке , значит разложение в ряд Фурье имеет вид:
.
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Тогда получаем