МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ  ВПО «Чувашский государственный  университет имени И.Н. Ульянова»

Строительный  факультет 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа № 1, 2

по дисциплине «Математике»

на тему: «Элементы векторной, линейной алгебры

и аналитической геометрии, введение в математический анализ,

производная и ее приложения, функции нескольких переменных,

неопределенный и определенный  интегралы, кратные интегралы,         дифференциальные уравнения, ряды» 
 
 
 
 
 

             
 
 

                                                                                                  Выполнил: студент 1 курса

                    Майстренко Н.В.

                                                                                                   группы ЗС-27-10

                                                                             

                                                                               Проверил: Кирпикова О.И. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Чебоксары 2010

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ  ВПО «Чувашский государственный  университет

 имени  И.Н. Ульянова»

Строительный  факультет  

РЕЦЕНЗИЯ

 

на  контрольную работу 

по дисциплине ________________________________________

специальность ________________________________________

курс __________ группа ________________________________

Ф.И.О. студента _______________________________________

Тема _____________________________________________________

_____________________________________________________

Достоинства работы ___________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Недостатки  работы ____________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка ______________________________________________

                 (зачтено, не зачтено, на доработку  и др.)

Преподаватель ________________________________________

                          (Ф.И.О., подпись)

Дата _________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 

Чебоксары 2010

Содержание

Лист

1 Контрольная работа№1.Элементы векторной, линейной алгебры           

   и аналитической геометрии                                                                               4

2 Введение в математический анализ. Производная и    

   ее приложения                                                                                                     9

3 Функции нескольких переменных.                                                                   14

4 Контрольная  работа № 2. Неопределенный и определенный  
   интегралы                                                                                                            17

5 Кратные интегралы                                                                                            21

6 Дифференциальные уравнения                                                                         23

7  Ряды                                                                                                                    28 
 
 

 

Контрольная  работа №1 

Элементы  векторной, линейной алгебры

и аналитической геометрии

Задача 1. Даны координаты вершин пирамиды , , ,   . Найти:

1) длину  ребра 

2) угол  между ребрами  и ;  

3) угол  между ребром  и гранью ;

4) площадь грани ;

5) объем  пирамиды;

6) уравнение  прямой  ;

7) уравнение  плоскости  ;

8) уравнение  высоты, опущенной из вершины  на грань . 

Выполнить чертеж.

Решение.

1) Длина ребра  A₁A₂ определяется по формуле

                   

2) Угол  между ребрами  и есть  угол  между векторами   и , который, согласно определению скалярного произведения, находится по формуле

                            

3) Составим  уравнение плоскости по трем  точкам:

, откуда  ,

где, раскрывая полученный определитель, получим:

               или .  

Нормальный вектор плоскости имеет координаты ; , откуда найдем

4) Площадь грани вычислим по формуле

      

= , где  

5) Объем   пирамиды  будем  вычислять   исходя  из геометрического

смысла  смешанного произведения:

            

6) Канонические  уравнения  прямой, проходящей  через две заданные точки  и , будут иметь вид:

Подставив соответствующие  координаты, получим:

  или  

или в  параметрической форме: х =4-4t, y=2-5t, z=5-3t.

7) Запишем   уравнение плоскости, проходящей  через  три заданные  точки  . Уравнение плоскости найдено в пункте 3):     .

8) Нормальный  вектор  плоскости  можно взять за  направ-ляющий вектор искомой прямой, который имеет координаты . Канонические уравнения искомой высоты, опущенной из вершины согласно формулы  , примут вид:

.

Делаем чертеж 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 

 
 

  

Задача 3. Даны вершины треугольника АВС: , , . Найти:

1) длину  стороны BC;

2) уравнение  ли-нии BC;

3) уравнение  высоты, про-веденной из точки  A;

4) длину  высоты, проведенной из точки  A;

5) площадь  треугольника;

6)  угол  В.

Решение.

1) Длину стороны  BC находим, исходя из формулы

 

= .

2) Уравнение  прямой, проходящей через две  заданные точки, определяется  по формуле 

                                        ,

согласно  которой  будем  иметь  искомое  уравнение 

                                                ,

откуда после  преобразований получим  уравнение  стороны BC:

3) Угловой  коэффициент прямой BC согласно формулы равен . Так как , то , откуда . Составим уравнение высоты согласно формулы . Подставив соответствующие координаты, будем иметь: или (уравнение высоты ).

4). Длину   высоты  находим согласно формулы для нахождения расстояния  от точки A до  прямой  на  плоскости:

                                         ,

где  – общее уравнение прямой на плоскости.

    Тогда

      

 

6). Угол  при вершине  треугольника находим, используя формулу

        Так  как  

                         , то  

или   

. 
 
 

Задача 4. Даны  векторы  a = (1;2;3), b = (–1;3;2), c = (7; –3;5),

d = (6;10; 17)  в некотором базисе. Показать, что векторы a = (1;2;3), b = (–1;3;2),               c = (7;  –3;5) образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

    Решение.

        Если векторы a = (1;2;3), b = (–1;3;2), c = (7; –3;5),  образуют базис, то смешанное произведение  этих  векторов  не  равно нулю. Проверим это:  

    Следовательно, вектор d линейно выражается через базисные векторы a, b, c. Тогда требуется найти такие три числа , чтобы имело место равенство

                                             

или 

                                           

    Так как

    

,

то система  уравнений имеет единственное решение. Воспользуемся правилом  Крамера:

      

,

где

             

, 

          

, 

           

.

        Тогда 

                                       .

Таким образом разложение имеет вид  .