Элементы векторной, линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ, производная и ее приложения, функции н

Задача 5. Дана матрица А. Найти матрицу А^-1 обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А ^. А^-1 .

Решение.

Рассмотрим матрицу  . Ее определитель   отличен от нуля, следовательно матрица невырожденная и имеет единственную обратную матрицу, определяемую по формуле .

      Запишем алгебраические дополнения для элементов  матрицы A:

           

 

   

        Тогда:

.      

Задача 6. Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.

Решение. Рассмотрим систему  

    Выполним элементарные (строчные) преобразования  над  расширен-ной матрицей:

               ~ ~ ~ 

~ .

        Полученную расширенную треугольную  матрицу распишем в виде системы уравнений:

 

        Решения нет, т.к. ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. 
 

Введение  в математический анализ.

Производная и ее приложения 

Задача 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

                                     

        

Решение. 

 

 
 

Задача 2. Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции. 

Решение.

1. Неэлементарная  функция  определена для всех значений . Она может иметь разрыв только в точках x=-1 и x=1, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, не-прерывную в своем интервале изменения аргумента x.

   Исследуем точки  x = -1 и x = 1:

 а)  ,  

Согласно  условию, значение  функции    в точке определяется первой формулой , следовательно, в точке выполняются все условия непрерывности функции: функция определена в окрестности точки x=-1 и

                                   .

    Поэтому в точке x=-1 функция   непрерывна. 

б) .

Здесь левый и правый пределы функции  конечны, но различны, т.е. не выполняется  условие непрерывности. Поэтому  в точке x=1 функция имеет разрыв (конечный скачок), который равен:

Построим  схематический график: 
 

 

 

 

 

Задача 3. Найти производные следующих функций.

Решение.

а)   у=arccos

y’=(arccos ) =  

б)  у =ln ctg

 

в)       

 

Задача 4. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

Решение.

Задача 5. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f(x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].

1.  а)  б) [-3; 3] .

Решение.

а)

1) Область  определения  . 

2) Функция  непериодическая. 

3) - функция нечетная. 

4) Точки  пересечения с осью ОХ:

y = 0    x =0 

c осью OY: х = 0 ;   ;  

 

5. График  симметричен относительно начала координат 

 

Находим критические  точки: x₁=2; x₂=-2

Исследуем знак производной на интервалах, на которые  критическая точка делит область  определения функции: 

 

        

6) Выпуклость/вогнутость 

 

7) Вертикальных  асимптот нет

       - следовательно наклонных асимптот  тоже нет. 

8) График. 

б) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке [-3; 3]. Поскольку критическая  точка функции x=-2 и х=2 принадлежит указанному отрезку, вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: , , ,

      Очевидно, что  , . 

Функции нескольких переменных. 

Задача 6. Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков. 

1. . 

Решение. Вычислим первые частные производные:

,

Дифференцируя полученные частные производные  по переменным x и y соответственно, получаем вторые частные производные:

Задача 7. Дана функция. Выяснить, имеет ли эта функция экстремум и определить максимум или минимум.

1. Z = x² – y² + 3xy + 7.

Решение.  Находим координаты стационарной точки:

 

 

Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.

1. Z = x² – y² + 3xy + 7 ; D : -2 £ x £ 2, -2 £ y £ 2

Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные равны нулю:

 

Решив систему  уравнений  

найдем  две точки О(0;0) и M(1;1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая  из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке M(1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области.

    На  отрезке АB и CD имеем x=0 и поэтому на этом отрезке функция есть убывающая функция от одной переменной  y. Наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка AВ,CD

          На отрезке BС и AD имеем y = 0. Поэтому на отрезке BС и AD функция z = представляет собой функцию одной переменной x. Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди значений в критических точках и на концах отрезка. Находим производную . Решаем уравнение или и находим . Внутри отрезка имеется лишь одна критическая (стационарная) точка , соответствующей точкой отрезка AB и AD является точка .

    Наибольшее  и  наименьшее  значения  функции 

 в  замкнутой  области   находятся  среди  ее значений  в

точках  O, A, B,C,D,Q  и M,  т.е. среди значений

             z(O) = z(0;0) = 0,  z(A) = z(0;-2) = 3, z(B)=z(2;0)=11, z(Q) = z( ) = 10+ ,

             z(С) = z(0;2) = 3,  z(D) = z(-2;0) =11,   z(M) = z(1;1) = 10.

          Наибольшее и наименьшее значения равны соответственно 11 и 3. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области:   

Задача 9. Даны: функция трех переменных , точка  
M₀ (1; -2; 1) и вектор (-1; 2; 2)

      Найти:

      1) производную в точке М₀ по направлению вектора ;

      2) grad u в точке М_0. 

Решение. Найдем частные производные функции и направляющие косинусы вектора :

      

Воспользуемся формулой

                                  

где –нормальный вектор к поверхности уровня, –   единичный вектор направления .

а) Найдем производную функции u по направлению вектора в любой точке:

                         

   б) Подставляя координаты точки  A, получим:

                                                  . 

    Находим градиент функции в точке A:

                                        grad u =

                                      grad u|_M =

    Так как  тогда

                                                  grad u|_M =  

Контрольная  работа  № 2 

Неопределенный  и определенный  
интегралы