Михайлов  разработал частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости системы по виду кривой, построенной на основе характеристического полинома замкнутой САУ. В указанный полином подставляют мнимое значение p = јω, где ω — угловая частота колебаний. При этом получают комплексное число F(јω) =U(ω)+јV(ω), где

     U(ω) – вещественная часть содержит четные степени ω;

     V(ω) – мнимая часть содержит нечетные степени ω.

     Критерий  устойчивости Михайлова основан  на построении годографа характеристического  вектора F(jω). Годографом называется кривая, прочерчиваемая концом вектора F(jω) на комплексной плоскости при изменении частоты ω от 0 до ∞. Годограф Михайлова строят по точкам, при чем задают различные частоты ω, и по формулам вычисляют U(ω) и V(ω). Результаты расчетов сводят в таблицу, по которой затем и прочерчивают кривую, представленную на рисунке 4, по виду которой можно судить об устойчивости системы.

 

Рис.4 Годограф Михайлова 

     В основе доказательства критерия Михайлова  положен принцип аргумента. Если обозначить через n всего корней характеристического уравнения, а через l – число корней имеющих положительную вещественную часть, то число корней имеющих отрицательную вещественную часть будет: n – l.

     Приращение arg ∆F(јω) = φ= (n-l)π/2 – lπ/2 =nπ/2 –lπ.

     В устойчивой системе все корни  имеют отрицательные вещественные части (l = 0), поэтому φ= nπ/2.

     Таким образом, можно сформулировать критерий Михайлова в следующем виде: для  того чтобы САУ n-го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы характеристический вектор F(јω), описывающий годограф Михайлова, при изменении частоты ω от 0 до ∞ имел угол поворота φ= n π/2.

     Кривая  Михайлова всегда начинается с точки, расположенной в вещественной положительной полуоси. При ω→∞, F(јω)→∞, причем при четном n кривая уходит в бесконечность вдоль вещественной оси U, а при нечетном n — вдоль мнимой оси V. Для устойчивой системы кривая Михайлова должна проходить последовательно n квадратов. Для неустойчивой системы последовательность квадратов нарушается, так как угол поворота вектора F(јω) при наличии положительных вещественных частей корней характеристического уравнения будет меньше, чем n π/2. На рисунке 5 представлены разновидности годограф Михайлова, [5].

        

                      А                                        Б                                    В

Рис. 5 Разновидности годографов Михайлова

     А – устойчивая; Б – на границе устойчивости; В – неустойчивая 

     Наибольшее распространение в инженерной практике получил критерий устойчивости Найквиста-Михайлова. Этот критерий предназначен для исследования устойчивости только замкнутых систем.

     Критерий  Найквиста-Михайлова – это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой (АФЧХ) или логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) разомкнутой системы.

     Помимо  исследования устойчивости по виду указанных характеристик можно оценить и некоторые качественные показатели замкнутой системы, например, запас устойчивости. Более того, появляется возможность указать, как и за счет каких средств, неустойчивая замкнутая система может быть сделана устойчивой и как можно повысить качество устойчивой замкнутой системы.

     Формулировка критерия Найквиста – Михайлова: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости ее в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от 0 до ∞ АФЧХ разомкнутой системы (годограф вектора W(јω)) не охватывала точку с координатами (-1;ј0); если АФЧХ охватывает точку (-1;ј0), то замкнутая система неустойчива; если АФЧХ проходит через точку (-1;ј0), то система находится на границе устойчивости, [6]. Примеры АФЧХ устойчивой, неустойчивой и находящейся на границе устойчивости системы с астатизмом нулевого порядка приведены на рисунке 6.

              

                     А                                        Б                                             В 

Рис. 6 Амплитудно – фазовые характеристики с астатизмом нулевого порядка

А –  устойчивая; Б – на границе устойчивости; В – неустойчивая. 

     Основной формой математического описания объектов в теории автоматического регулирования является передаточная функция W(p), и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению передаточной функции

     Передаточная функция W(p) непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях, [4]. Согласно условию передаточная функция выглядит следующим образом:

     W(p) = X_вых(р)/Х_вх(р).

     Зная  входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал:

     X_вых(p) = X_вх(p)W(p). 
 
 

     Расчетная часть 
 

     Даны  параметры динамических элементов  САУ

 

     Критерий Найквиста

1. Определим вид передаточной функции системы:

 

 

2. Заменим р = jω

 

 

 

 

 

 

 

3. Заполним таблицу

4. На основании данных таблицы построим амплитудно-фазовую характеристику системы с астатизмом нулевого порядка (рисунок 7).

                   

Рис. 7 Амплитудно-фазовая  характеристика некорректированной системы 

      Для наглядности изобразим данную амплитудно-фазовую характеристику на логарифмической шкале (рисунок 8) 

                   

     Рис.8 Амплитудно-фазовая характеристика некорректированной системы (логарифмическая шкала) 

     Амплитудно-фазовая  характеристика системы с астатизмом нулевого порядка оказалась неустойчивой, так как АФЧХ охватывает точку (-1; j0). Следовательно, необходимо ввести корректирующее устройство с целью смещения АФЧХ в положение, соответствующее устойчивому состоянию системы, то есть улучшению ее динамических свойств. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     4. Математическое описание и оценка свойств корректированной системы графоаналитическим методом

 
 

     В тех случаях, когда устойчивость и необходимые качества не могут быть достигнуты путем изменения параметров системы (коэффициентов передачи, постоянных времени), то применяется коррекция. Коррекция представляет собой введение в систему дополнительных элементов, называемых корректирующими.

     Корректирующие  элементы (устройства) могут быть включены в структуру САР различными способами:

1. Корректирующее устройство может быть включено в прямую цепь последовательно (рисунок 8, в данной работе будет рассмотрен именно такой способ включения). Последовательное корректирующие устройства обычно применяют в автоматических системах для повышения их устойчивости и ускорения переходных процессов или уменьшения установившихся ошибок. Если корректирующее устройство вводит производную от сигнала рассогласования, то происходит увеличение запаса устойчивости и повышение качества переходного процесса. При введении интеграла и производной от сигнала рассогласования обеспечивается астатизм в сочетании с сохранением устойчивости и качества переходной характеристики.

     

 

 

Рис. 8 Структурная схема корректированной системы стабилизации температуры (последовательное включение) 

2. Применяется также включение корректирующего  устройства в виде обратной связи. В этом случае свойства участка цепи, где включена коррекция, и изменение ее параметров не оказывают влияния на свойства всей системы. Это важное свойство — причина широкого применения коррекции в виде обратной связи. Обратная связь обычно является отрицательной.
3. Применяется и третий способ коррекции — параллельный. По сравнению с корректирующими последовательными устройствами параллельные менее подвержены влиянию помех, их использование не требует дополнительных усилий, поскольку мощность сигнала, поступающего на вход, достаточно велика. Параллельная коррекция получила большое распространение, [7].

     Выбор того или иного корректирующего устройства определяется удобством их технического осуществления.

     Включим последовательное дифференцирующее корректирующее устройство (ПДКУ) КУ – 1 (рисунок 9).

     

       
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 9 Последовательное дифференцирующее корректирующее устройство КУ – 1 (RC – контур) 

     Даны  следующие параметры КУ – 1:

     R₁ = 0,35 МОм;

     R₂ = 0,65 МОм;

     С = 0,25 мкФ.

     Рассчитаем  передаточную функцию контура:

=α , где

α= , Т₁ = R₁С, Т₂ = αТ₁.