0= P₃λ+(6μ+5η)P₅ – P₄λ - (6μ+4η)P₄

    0= P₄λ+(6μ+6η)P₆ – P₅λ - (6μ+5η)P₅

    0= P₅λ – P₆(6μ+6η)

    1=P₀ + P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ 

    Вероятность обслуживания:

    Вероятность занятости канала:

    Среднее число занятых каналов: k=2.781

Анализ  полученных результатов  моделирования.

 

    В результате аналитического моделирования  получены интересующие нас вероятностные характеристики системы. При аналитическом моделировании система ПРО рассматривалась в виде графа гибели и размножения, что позволило определить вероятности состояний из системы уравнений. Также эти характеристики могут быть посчитаны по заранее известным формулам. Результаты аналитического моделирования представлены также в Приложении 3. А требуемые графики в Приложении 4. Также была исследована зависимость вероятностных характеристик системы от числа обслуживающих приборов. При увеличении числа обслуживающих приборов от 2 до 4 были выявлены следующие закономерности: плотности потока обслуживающих заявок возрастает, среднего числа занятых каналов увеличивается.

 

Выводы

    В процессе выполнения данной индивидуальной работы мы познакомились с системами массового обслуживания на примере системы ПРО с отказами и частичной взаимопомощью. Данная система ПРО была рассмотрена как система массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами обслуживания.

    Для заданной системы были построены  две модели: аналитическая модель и имитационная модель. Обе системы рассматриваются при следующих упрощениях: рассматривается простейший пуассоновский поток входящих заявок, простейший пуассоновский поток обслуживания, а также система работает в стационарном режиме. В аналитической модели можно путем решения алгебраической системы уравнений определить вероятностные характеристики системы: вероятность обслуживания, плотность потока обслуживающих заявок, среднее число занятых каналов.

    Имитационная  модель строилась с учетом всех особенностей функционирования реальной системы и поэтому она достаточно точно описывает все вероятностные процессы. В основу имитационной модели положено рассмотрение работы системы на некотором отрезке времени. В результате этого можно определить вероятностные характеристики системы.

    Также была выявлена зависимость вероятностных  характеристик системы от числа обслуживающих приборов, были получены следующие закономерности. Проводя моделирование при увеличении числа обслуживающих приборов от 2 до 4, наблюдаем:

1. увеличение вероятности обслуживания;
2. увеличение плотности потока обслуживающих заявок;
3. увеличение среднего числа занятых каналов.

    Соответствующие зависимости в виде графиков представлены в Приложении 4.

 

Список используемой литературы

1. Гмурман В. Е., «Теория вероятностей и математическая статистика». М: Высшая школа, 1977.
2. Овчаров Л. А., «Прикладные задачи теории массового обслуживания», Москва, Машиностроение, 1969.
3. Южаков А.А., Стохастические сети в проектировании технических систем: Учебное пособие. ПГТУ – Пермь, 1999.
4. ГОСТ 19.105-78. ЕСПД. «Общие требования к программным документам».

 

Приложения

Приложение  1 (листинг программы для имитационного моделирования)

const

lambda=4.52;         {Интенсивность простейшего входящего потока}

mu=0.975;            {Интенсивность простейшего потока обслуживания}

eta=0.703;        {Параметр нетерпимости заявки}

time_t=1000000;      {Время моделирования}

n_kanalov=3;         {Число каналов обслуживания}

l=3;                 {Параметр взаимопомощи}

var

n_svob,p:integer;    {кол-во свободных в данный  момент приборов}

vypolneno:real;      {Количество выполненных заявок}

kolvo,otkaz:longint; {Кол-во  заявок, кол-во отказов}

i,ok:integer;

t:longint;           {Текущее время при моделировании}

t_z0,t_z,t_obs:real; {Интервалы  обслуживания и занятости заявки}

n:array[1..n_kanalov] of real;{Массив, в котором хранится время занятости текущего канала}

t_zan:array[1..n_kanalov] of real;{Массив, в котором хранится  общее время занятости каждого канала во время моделирования}

n_vyp:array[1..n_kanalov] of integer;{Массив, в котором хранится  кол-во заявок, выполненных каждым каналом}

n_l_z:array[1..n_kanalov] of integer;

Pobs:real;       {Вероятность обслуживания }

Lo,tpk,ksr:real; {Среднее  число занятых кан и  плотность  потока обслуживающих заявок}

n_zero:array[1..l] of integer;  {Номера свободных в данный  момент каналов обслуживания}

begin

randomize;

t_z0:=0;

kolvo:=0;

otkaz:=0;

vypolneno:=0;

for i:=0 to n_kanalov do     {Начальное обнуление параметров}

    begin

        n_vyp[i]:=0;

        t_zan[i]:=0;

    end;

for t:=0 to time_t do          {Основной цикл моделирования}

    begin

      for i:=1 to n_kanalov do     {Цикл проверки окончания обслуживания заявки}

         begin

             if ((t>=n[i])AND(n[i]<>0)) then   {Если текущее время больше, чем}

                begin

                     n[i]:=0;

                     vypolneno:=vypolneno+1/n_l_z[i];

                     n_l_z[i]:=0;

                end;

         end;

      if (t>=t_z0) then         {Генерации прихода новой заявки}

         begin

             t_z:=-100/lambda*ln((random(1000)+1)/1000);{генерация случайного интервала между заявками}

             t_z0:=t_z0+t_z;

             inc(kolvo);                                {Счётчик числа пришедших заявок  увеличивается на единицу }

             n_svob:=0;

             for i:=1 to l do n_zero[i]:=0;             {Обнуляется массив номеров свободных каналов}

             p:=1;

             for i:=1 to n_kanalov do                   {Цикл поиска свободных каналов}

                 begin

                    if (n[i]=0) then

                       begin

                         inc(n_svob);

                         n_zero[p]:=i;

                         inc(p);

                       end;

                 end;

             if (n_svob>=l) then begin   {если число  свободных каналов больше, чем l, то

     поступившая заявка обслуживается l}

                t_obs:=-100/(l*mu+eta)*ln((random(1000)+1)/1000);     {Генерация времени обслу

     живания заявки}

                for i:=1 to l do                             {Распределяем обслуживание заявки по l каналам}

                  begin

                          n[n_zero[i]]:=t+t_obs;  {Записываем время  окончания обслуживания заявки}

                           n_l_z[n_zero[i]]:=l;

                       t_zan[n_zero[i]]:=t_zan[n_zero[i]]+t_obs;{Общее время занятости i-

     го канала}

                          n_vyp[n_zero[i]]:=n_vyp[n_zero[i]]+1;    {Число заявок, выполненных i-тым

     каналом}

                          ok:=1;                                   {Заявка поставлена на обслуживание}

                  end;

              end

             else

             if (n_svob>0)AND(n_svob<l) then begin  {если число  свободных каналов меньше,

     чем l, то поступившая заявка обслужи}

                t_obs:=-100/(n_svob*mu+eta)*ln((random(1000)+1)/1000); {Генерация  времени об

     служивания заявки}

                for i:=1 to n_svob do   {Распределяем обслуживание  заявки по оставшимся сво

     бодным  каналам}

                  begin

                          n[n_zero[i]]:=t+t_obs;                   {Записываем время окончания обслужива

     ния заявки}

                           n_l_z[n_zero[i]]:=n_svob;

                  t_zan[n_zero[i]]:=t_zan[n_zero[i]]+t_obs;{Общее время занятости i-го

     канала}

       n_vyp[n_zero[i]]:=n_vyp[n_zero[i]]+1;    {Число заявок, выполненных i-тым

       каналом}

                          ok:=1;                                   {Заявка поставлена на обслуживание}

                  end;

              end

              else ok:=0;                                          {иначе заявка не поставлена на обслуживание}

              if (ok<>1) then inc(otkaz); {Если заявка не  поставлена на обслуживание, то увели

     чивается  счё1тчик отказов на еди}

         end;

    end;     {Окончание основного цикла моделирования}

            {Вычисление интересующих  параметров по результатам моделирования}

pzk:=0;

for i:=1 to n_kanalov do pzk:=pzk+t_zan[i]/time_t;

pzk:=pzk/n_kanalov;   {Вычисление вероятности занятости канала}     

tpk:=0;

for i:=1 to n_kanalov do if (n_vyp[i]<>0) then tpk:=tpk+(time_t-t_zan[i])/n_vyp[i];

ksr:=pzk*n_kanalov;        {Вычисление среднего числа занятых каналаов}

Pobs:=(kolvo-otkaz)/kolvo;   {Вычисление вероятности обслуживания}

writeln('Число заявок ',kolvo);

writeln('Выполнено  ',vypolneno:5:0);

writeln('Вероятность  обслуживания ',Pobs:5:3);        {Вывод результатов моделирования}

writeln('Вероятность занятости канала ',pzk:5:3);

writeln('Среднее  число занятых каналов ',ksr:5:3);

readln;

end.

Приложение  2 (листинг программы для аналитического моделирования)

uses crt;

const l=4.52;

      m=0.703;

      n=6;

      ll=3;

      k=2000;