Если  время передачи информации велико по сравнению со временем пребывания цели в зоне обстрела (типично для системы ПРО, у которой время мало), то

    

    При анализе работы системы ПРО необходимо знать характеристики налета. Будем считать, что налетающие ракеты образуют пуассоновский поток с интенсивностью , который определяется так:

    

,

    где I – средний линейный интервал между ракетами.

    В нашем случае время передачи информации мало и параметр освобождения канала определяется по формуле   

Разработка  имитационной модели

Математическое  описание имитационной модели.

    Имитационное  моделирование основано на искусственной реализации вероятностных законов. С помощью генератора вырабатываются независимые реализации случайного процесса, интересующие нас характеристики находятся путём усреднения по множеству реализаций.

    Исходные  данные для имитационной модели:

• - число каналов обслуживания;

    

• - интенсивность простейшего  входящего потока заявок;

    

• - интенсивность потока обслуживания заявок;

    

• - интенсивность простейшего  потока освобождения канала;

    

- параметр нетерпения заявки

    

    Интенсивности поступления и обслуживания заявок распределены по пуассоновскому закону.

    При разработке имитационной модели для  реализации входного потока заявок и потока обслуживания из равномерной случайной величины, генерируемой ЭВМ, необходимо получить случайную величину, распределённую по пуассоновскому закону. Пусть - случайная величина, равномерно распределённая в интервале . Для пуассоновского распределения примем

    

    Осуществив  интегрирование, получим:

    

    Решая это уравнение относительно , имеем:

    

.

    Случайное число  распределено равномерно в интервале , следовательно, также случайная величина, принадлежащая интервалу . Поэтому r и распределены одинаково. Отсюда имеем:

    

.

    Определяемая  этим соотношением случайная величина x имеет пуассоновский закон распределения. Таким образом, интервал времени между заявками определяется следующим образом:

    

,

    где  - случайная величина в диапазоне , генерируемая ЭВМ.

    Требуемые характеристики СМО можно определить следующим образом:

• вероятность обслуживания:

    

,

    где - количество обслуженных заявок; - общее количество заявок, пришедших в систему за время моделирования.

• Вероятность того, что отдельный канал будет занят:

    

,

• среднее число занятых каналов:

    

,

    где - интенсивность простейшего входящего потока заявок, - интенсивность потока обслуживания заявок

    Таким образом, используя имитационную модель можно получить требуемые параметры. 

    Имитационное  моделирование включает следующие этапы:

    1. Построение входного потока заявок. Время появления заявки определяется следующим образом:

    

,

    где - модельное время.

    2. Обслуживание заявок. Для каждой  заявки, стоящей на обслуживании, проверяется, не истекло ли время её обслуживания. Если время истекло, то заявка считается обслуженной и занятые ей приборы освобождаются.

    3. Генерация новой заявки. Генерируется  время выполнения пришедшей заявки, т.к. оно распределено по пуассоновскому  закону, то время выполнения:

    

,

    где - время выполнения пришедшей заявки.

    Далее заявка ставится на обслуживание, здесь  возможны два варианта:

1. в системе свободно приборов и заявка обслуживается одновременно приборами. При этом заявка обслуживается параллельно, интенсивность обслуживания заявки увеличивается в раз;
2. число свободных приборов меньше . Заявка становится на обслуживание и обслуживается параллельно оставшимся числом приборов.

Описание  блок-схемы алгоритма.

 

    Блок-схема  имитационного моделирования приведена  на рис.1.

    Описание  блок-схемы:

    1) Установка начальных значений  и обнуление счётчиков заявок, выполненных заявок, отказов.

    Рассмотрим  функционирование одного цикла моделирования:

    2) Обнуление счетчиков занятых каналов.

    3) Если текущее модельное время  превышает время прихода следующей  заявки, то генерируется новая  заявка. Заявка генерируется в виде случайного промежутка времени, который распределён по пуассоновскому закону.

    4) Проверка занятости каналов. Сохраняются номера свободных каналов, если они в данный момент есть, а также их количество.

    5) Если количество свободных каналов  больше, чем параметр взаимопомощи l, то заявка ставится на обслуживания. Постановка заявки на обслуживание происходит в виде генерации случайного промежутка времени распределённого по пуассоновскому закону.

    6) Если количество свободных приборов  меньше параметра взаимопомощи  l, но больше нуля, то заявка ставится на обслуживание и обслуживается оставшимся числом свободных приборов. Постановка на обслуживание осуществляется как в предыдущем пункте

    7) Если нет свободных приборов, то заявка получает отказ в  обслуживании и увеличивается на 1 счётчик отказов.

    Далее идёт следующая итерация цикла.

8) Вычисление требуемых параметров СМО:  - вероятности обслуживания,

- вероятность того, что отдельный канал будет занят, - среднее число занятых каналов

    На  основании изложенного алгоритма  была разработана программа (Приложение 1). При имитационном моделировании для получения статистически достоверных результатов необходимо некоторое число K реализаций. Чем больше , тем точнее оценки. В нашем случае количество реализаций можно найти по формуле:

    

,

    где - дисперсия; - задаваемая точность; -уровень значимости.

    При использовании данной формулы необходимо знать дисперсию , но она изначально неизвестна. Поэтому зададимся произвольным числом реализаций (10 реализаций), определим дисперсию, и найдём количество необходимых реализаций.

    В Приложения 2 представлены полученные реализации. Посчитаем дисперсию:

    

    Зададимся точностью  и уровнем значимости : для инженерных расчетов приемлемой считается погрешность не более 10%, поэтому точность можно взять , а уровень значимости . В этом случае число реализаций . Таким образом, имитационное моделирование было произведено с большей точностью. 

 

Рис. 1. Блок-схема имитационного моделирования 

 

Анализ  полученных результатов 

    В результате имитационного моделирования  были получены следующие значения статических  характеристик:

    При числе каналов обслуживания n=3

                                      = 0,449

                                      = 0,552

                                       = 1,656

    При числе каналов обслуживания n=4

                                      = 0,654

                                      = 0,554

                                       = 2,217

    При числе каналов обслуживания n=5

                                      = 0,706

                                      = 0,509

                                       = 2,545

    При числе каналов обслуживания n=6

                                      = 0,743

                                      = 0,464

                                       = 2,781 

    Рассмотренный выше алгоритм построения имитационной модели реализован в программе, листинг которой приведен в Приложении 1, а результаты работы программы в виде таблицы — в Приложении 3, графики представлены в Приложении 4

    Проводя моделирование при увеличении числа  обслуживающих приборов от 3 до 6, наблюдаем:

1. увеличение вероятности обслуживания;
2. уменьшение вероятности занятости канала;
3. увеличение среднего числа занятых каналов.

   Существенным  достоинством имитационной модели является возможность при многократном моделировании  получить достаточно точные оценки рассчитываемых вероятностных показателей. Поэтому было произведено 10-ти кратное моделирование и усреднение полученных данных. Подробные результаты представлены в Приложении 3.

 

Разработка  аналитической модели.

Математическое  описание аналитической  модели

 

    При рассмотрении системы ПРО взаимопомощь между каналами состоит в том, что одну цель могут одновременно обстреливать каналов, при этом эффективная скорострельность увеличивается в раз. 

    Постановка  задачи: На вход n – канальной СМО поступает простейший поток заявок с плотностью . Плотность простейшего потока обслуживания каждого канала . Если поступившая на обслуживание заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно каналами ( ). При этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсивность . Если поступившая на обслуживание заявка застаёт в системе одну заявку, то при вновь прибывшая заявка будет принята к обслуживанию  одновременно каналами с производительностью . Если поступившая на обслуживание заявка застаёт в системе i заявок ( , при этом , то поступившая заявка будет обслуживаться каналами с общей производительностью . Если вновь поступившая заявка застаёт в системе заявок и при этом выполняются совместно два неравенства , то заявка будет принята на обслуживание. В этом случае часть заявок будет обслуживаться каналами, а одна заявка будет обслуживаться меньшим, чем числом каналов, но в обслуживании будут заняты все каналы. Если вновь поступившая заявка застанет в системе все каналы занятыми, то она получает отказ и не обслуживается. Рассматривается система с терпеливыми заявками