Виды средних величин, условия их применения в экономическом анализе

2. Общий множитель  индивидуальных значений  признака  может  быть вынесен за знак  средней:

3. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких  величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с,  где с - постоянная величина, то  .

5. Сумма отклонений  значений признака Х от средней  арифметической х равна нулю:

 

1.2 Средняя гармоническая

   Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая  величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда  необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

   Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле  , т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

   Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое  на изготовление одной детали.

   На  первый  взгляд  кажется,  что  задача легко решается по формуле  средней арифметической простой:

   

   Полученная  средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  рабочий сделал только  по  одной детали.  Но в течение  дня отдельными рабочими было изготовлено  различное число деталей.  Для  определения числа деталей, изготовленных  каждым рабочим, воспользуемся следующим  соотношением:

     все затраченное время 

   Среднее время, затраченное =  --------------------------------------

             на одну деталь                              число деталей 

   Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одной детали, равно: 

Это же решение  можно представить иначе:

   

   Таким образом,  формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

   

   Средняя гармоническая взвешенная:

, где M_i=x_i*f_i (по содержанию).

     Например, необходимо определить среднюю урожайность  всех технических культур на основании  следующих данных (таблица 3):

Таблица 3

Валовой сбор и урожайность технических  культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.

 

     Здесь в исходной информации веса (площадь  под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь M_i=x_i*f_i ,  поэтому , а средняя урожайность будет равна . 

1.3 Средняя геометрическая

   Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

 

где n — число вариантов; П — знак произведения.

   Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних  темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения. 

1.4 Средняя квадратическая и средняя кубическая

   В ряде случаев в экономической  практике возникает потребность  расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или  кубических единицах измерения. Тогда  применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней  величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов  и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины  стороны и кубов).

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов  отдельных значений признака на их число:

,

где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

Средняя квадратическая взвешенная:

,

где f-веса.

     Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы  кубов отдельных значений признака на их число:

,

где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

     Средняя кубическая взвешенная:

,

где f-веса.

     Средние квадратическая и кубическая имеют  ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих  вариантов x, и из их отклонений от средней (х — ) при расчете показателей вариации.

     Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней  может быть средняя прогрессивная  как одна из частных средних, вычисляемая  не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных). 

1.5 Структурные средние   

     Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто  используются в экономической практике мода и медиана.

     Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим  товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как  чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

      ,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4).

Распределение предприятий  по  численности промышленно - производственного  персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 4

 

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет  численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие  обозначения:

=400, =100,  =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и  произведем вычисления:

Мода применяется  для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота  рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви  и одежды и др.

     Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек  медианным будет рост у 14-го,  если они выстроятся по росту. Если число  единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних  членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где 

x₀ - нижняя гранича медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_Me - частота медианного интервала.

Распределение предприятий  по  численности промышленно - производственного  персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 5

 

Определим прежде всего медианный интервал.  В данной задаче сумма накопленных  частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500.  Это и есть медианный  интервал,  в  котором находится  медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,