Виды средних величин. Обусловленность выбора средней характером исходной информации

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

 

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

СТАТИСТИКА

Вариант №8

(Виды средних величин.  Обусловленность выбора средней  характером исходной информации.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преподаватель: Лапченко Д.А.

                                                                       Выполнила: Коваленко  Яна 

                                                                                        (группа 417051-11)

__________________

(дата выполнения работы)

                                                                                                          24.12.2012

                                                                                                                                             (подпись)

 

 

 

 

 

 

 

2012 год

Виды средних  величин. Обусловленность выбора средней  характером исходной информации.

 

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средние величины исчисляются для характеристики уровня цен, заработной платы, основного капитала, численности населения и др. однородной совокупности социально-экономических явлений.

Требования, предъявляемые к средним величинам:

–   средняя должна характеризовать качественно однородную совокупность;

–   средние должны исчисляться по данным большого числа единиц, составляющих совокупность, то есть отображать массовые социально-экономические явления.

Для более глубокого научного анализа изучаемых явлений исчисляют средние величины не только всей совокупности, но и по составляющим эту совокупность. Задача статистики состоит в том, чтобы дать смысловую социально-экономическую оценку результатам расчетов средних показателей.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у единиц совокупности.

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших  класса:

• степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);

• структурные средние (мода, медиана).

Таблица 1

Виды средних величин

Наименование   средней	Формула средней
	Простая	Взвешенная
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая
Квадратическая

 

 

х – индивидуальное значение признака,

n – число значений признака.

К степенным средним  относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая. Средняя обозначается через  . Черта вверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений. Частота – повторяемость отдельных значений признака – обозначается буквой f.

Вопрос о выборе средней  решается в каждом отдельном случае, исходя из задач исследования и наличия  исходной информации.

Самый распространенный вид средней величины – средняя арифметическая. Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда варианты или варьирующие признаки встречаются только по одному разу и имеют одинаковый вес в совокупности. Средняя арифметическая взвешенная используется, когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются неодинаковое число раз.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака (то есть М=х×f).

Средняя гармоническая  простая исчисляется в тех  случаях, когда веса одинаковы, то есть равны между собой.

Средняя геометрическая простая используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики.

Средняя квадратическая используется для расчетов среднего квадратического отклонения (s) при изучении темы «Показатели вариации».

Для вычисления средней  в дискретных рядах варианты нужно  умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, то есть по средней арифметической взвешенной:

=

Для вычисления средней в интервальных рядах  нужно перейти к дискретному  ряду, то есть по каждой группе вычислить значение интервала, заменить интервал его средним значением и вычислить по формуле:

=

Для того чтобы проверить  правильность выбора формул, надо учитывать:

–  среднее значение признака не должно выходить за пределы минимального и максимального значений признака совокупности;

–  среднее значение ближе к тому значению признака, которому соответствует большая частота.

Степенные средние дают обобщающую характеристику совокупности и являются абстрактными величинами, полученными расчетным путем, в то же время эти средние не отражают всех особенностей совокупности, они могут быть различными для одинаковых совокупностей или иметь одинаковое значение для совокупности с различным строением.

Средние величины, описанные  выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние – мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле:

где: – нижняя граница соответственно модального и медианного интервалов;

 – величина модального  и медианного интервалов;

 – частота соответственно модального, предмодального и послемодального интервалов;

 – частота медианного интервала;

 – сумма частот ряда  распределения;

 – сумма накопленных частот  в интервалах, предшествующих медианному интервалу.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что  она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (n +1) / 2 с нечетным числом членов n. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы  в интервальных вариационных рядах  сначала определяется интервал, в  котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле:

 

где: – нижняя граница соответственно модального и медианного интервалов;

 – величина модального  и медианного интервалов;

 – частота соответственно  модального, предмодального и послемодального  интервалов;

 – частота медианного интервала;

 – сумма частот ряда  распределения;

 – сумма накопленных частот  в интервалах, предшествующих медианному  интервалу.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили – на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие  от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях  варьирующего признака и поэтому  являются дополнительными и очень  важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

 

 

Расчётная часть контрольной работы

 

Задача № 1. Имеются данные о работе 24 заводов в одной из отраслей промышленности:

Номер завода	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число  работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана по выпуску продукции, %
1	300	360	320	103,1
2	700	380	960	120,0
3	200	220	150	109,5
4	390	460	420	104,5
5	330	395	640	104,8
6	280	280	280	94,3
7	650	580	940	108,1
8	660	200	1190	125,0
9	200	270	250	101,4
10	470	340	350	102,4
11	270	200	230	108,5
12	330	250	130	102,1
13	300	310	140	112,7
14	310	410	300	92,0
15	310	635	250	108,0
16	350	400	790	111,1
17	310	310	360	96,9
18	560	450	800	114,1
19	350	300	250	108,0
20	400	350	280	107,0
21	100	330	160	100,7
22	700	260	1290	118,0
23	450	435	560	111,9
24	490	505	440	104,7