Статистика социально-экономической дифференциации населения Амурской области

 

Показатели вариации.

Для оценки ряда распределения найдем следующие  показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная:

                                        (14)

 

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

                                        (15)

где x₀ – начало модального интервала; h – величина интервала; f₂ –частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ – предмодальная частота; f₃ – послемодальная частота.

Выбираем  в качестве начала интервала 16.22, так  как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

 

Наиболее  часто встречающееся значение ряда – 16.47

Медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина —  больше

                                        (16)

 

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 15.64

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах  вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min                                        (17)

R = 16.8 - 13.9 = 2.9

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

                                        (18)

 

Каждое  значение ряда отличается от другого  не более, чем на 0.81

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

                                        (19)

 

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

                                        (20)

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое  значение ряда отличается от среднего значения 15.58 не более, чем на 0.91

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

Относительные показатели вариации.

К относительным  показателям вариации относят: коэффициент  осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

 

Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а  вариация слабая. Полученным результатам  можно доверять.

Линейный коэффициент вариации

 

Рисунок 4 – Полигон частот

2.4 Корреляционно-регрессионный анализ социально-экономической дифференциации населения Амурской области 

Вычислим  влияние среднедушевого дохода населения  на коэффициент дифференциации доходов.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(y_i - y^*_i)² → min                                        (21)

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y                                                 (22)

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших  данных система уравнений имеет  вид

10a + 155.6 b = 75851.63

155.6 a + 2433.16 b  = 1208336.59

Из первого  уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем  эмпирические коэффициенты регрессии: b = 2335.76, a = -28759.33

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение  регрессии):

y = 2335.76 x - 28759.33

Эмпирические  коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные  средние.

 

                                        (23)

 

Выборочные  дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое  отклонение

 

 

1.1. Коэффициент корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем  показатель тесноты связи. Таким  показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который  рассчитывается по формуле:

 

Линейный  коэффициент корреляции принимает  значения от –1 до +1.

Связи между  признаками могут быть слабыми и  сильными (тесными). Их критерии оцениваются  по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;                                        (24)

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем  примере связь между признаком Y фактором X  высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент  регрессии b:

                                        (25)

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное  уравнение регрессии имеет вид y = 2335.76 x -28759.33

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно  придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 2335.76 показывает среднее  изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора  х на единицу его измерения. В  данном примере с увеличением  на 1 единицу y повышается в среднем  на 2335.76.

Коэффициент a = -28759.33 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными  значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация  может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой  выборки, нет гарантий, что также  будет при экстраполяции влево  или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие  значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного  показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между  у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере  связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.

Коэффициенты  регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного  показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем  по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

                                        (26)

 

В нашем  примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении  Х на 1%, Y изменится более чем  на 1%. Другими словами - Х существенно  влияет на Y.

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

 

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического  отклонения S_x приведет к увеличению среднего значения Y на 0.9 среднеквадратичного отклонения S_y.

1.5. Эмпирическое корреляционное  отношение.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит для  измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

                                        (27)

 

где

 

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен  коэфииценту корреляции r_xy = 0.8999.

Полученная  величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Для любой  формы зависимости теснота связи  определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

                                        (28)

Данный  коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи  и точность модели, а также может  использоваться при любой форме  связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции r_xy.

В отличие  от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.

1.6. Коэффициент детерминации.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного  признака, объясненную вариацией  факторного признака.

Чаще  всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.8999² = 0.8099

т.е. в 80.99 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 19.01 % изменения Y объясняются  факторами, не учтенными в модели.

Таблица 6 –  Расчетная таблица

X (Коэф.диф.доходов)	Y (Ср/душ. Доход населения)	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
13.9	2874.6	193.21	8263325.16	39956.94	3707.79	22189403.78	694212.39	2.76	0.29
14	3852.4	196	14840985.76	53933.6	3941.37	13933519.61	7915.76	2.43	0.0231
14.5	4695.3	210.25	22045842.09	68081.85	5109.25	8351308.16	171356.86	1.12	0.0882
15.2	7232.9	231.04	52314842.41	109940.08	6744.29	124089.22	238741.87	0.13	0.0676
15.2	8125.3	231.04	66020500.09	123504.56	6744.29	291747.98	1907194.66	0.13	0.17
16	8356.8	256	69836106.24	133708.8	8612.9	595423.66	65586.87	0.19	0.0306
16.8	8915.58	282.24	79487566.74	149781.74	10481.51	1770009.39	2452139.46	1.54	0.18
16.8	9015.15	282.24	81272929.52	151454.52	10481.51	2044862.82	2150214.18	1.54	0.16
16.7	10225.5	278.89	104560850.25	170765.85	10247.93	6971379.47	503.3	1.3	0.002194
16.5	12558.1	272.25	157705875.61	207208.65	9780.78	24730102.41	7713497.83	0.88	0.22
155.6	75851.63	2433.16	656348823.87	1208336.59	75851.63	81001846.5	15401363.17	12.02	1.23

 

 

Рисунок 6  – Корреляционное поле

2.5 Анализ показателей социально-экономической дифференциации населения Амурской области в 2011 году

Таблица 7 - Денежные доходы населения в 2011 году.

Группы по денежным доходам, %	Доля денежных доходов  в группе, %
20	5.2
40	9.8
60	14.8
80	22.5
100	47.7

 

Для этого  разобьем все население страны на 5 равных, по числу входящих в них  домохозяйств, групп (по 20 %).

Линия фактического неравенства строится на основании  данных о процентах дохода приходящихся на каждые 20 % населения.

Если  нижняя первая часть населения получила 5.2% всех доходов, то графически это  будет точка А. Чтобы получить точку В необходимо сложить процент  дохода первых 20 % населения с процентами доходов вторых 20 % населения (5.2% + 9.8%) и т.д.

Таблица 8 – Расчетная таблтица

 

20-ти процентные группы  населения	Объем денежных доходов  населения, в % к итогу	Доля денежных доходов  нарастающим итогом, %	Площадь треугольника	Площадь прямоугольника	Общая площадь фигуры, Si
20	5.2	5.2	52	0	52
40	9.8	15	98	52	150
60	14.8	29.8	148	150	298
80	22.5	52.3	225	298	523
100	47.7	100	477	523	1000
					2023