Статистические методы выявления резервов рабочего времени

Расчеты параметров ао и а1 произведем по формулам (3.12) и (3.14):

Следовательно, уравнение прямой имеет вид:

Подставляя значения ti из таблицы (гр. 2) в уравнение прямой, рас­считаем теоретические (выровненные) значения уровней ряда, которые за­пи­сываем в гр. 5. Правильность расчетов теоретических значений проверяется при помощи следующего равенства:

.

В примере Следовательно, расчеты сделаны правильно.

В графе 6 таблицы определяются квадраты отклонения выровненных значений от реальных значений уi, на основе которых находят стандар­ти­зированную ошибку аппроксимации для уравнения прямой (формула (3.28).

Для выравнивания ряда по уравнению параболы второго порядка воспользуемся более простым способом расчетов - от условного нуля. Для проведения расчетов составляем следующую таблицу.

Расчет для выравнивания ряда по уравнению параболы второго порядка

Рассчитаем параметры уравнения ао, а1, а2 по формулам (3.16), (3.17), (3.18).

Уравнение параболы второго порядка:

Подставляя значения ti в данное уравнение, рассчитаем теоретичес­кие уровни (гр. 6 таблицы). Сравнивая суммарные теоретические и ре­альные уровни ряда (итог гр. 1 и итог гр. 6 таблицы), судим о правильности расчетов теоретических уровней.

Для расчета стандартизованной ошибки аппроксимации суммируем возведенные в квадрат отклонения теоретических и реальных уровней (гр. 7 таблицы). ошибка аппроксимации равна:

Чтобы выбрать наиболее подходящее уравнение, сравним стандар­ти­зованные ошибки аппроксимации для уравнения прямой и уравнения параболы. В первом случае ошибка равна 1,27 млрд. руб., во втором - 0,91 млрд. руб.

Выводы:

Уравнение прямой:

Уравнение параболы второго порядка:

В первом случае ошибка равна 1,27 млрд. руб., во втором - 0,91 млрд. руб. таким образом, наиболее точно анализируемый ряд динамики описывается уравнением параболы второго порядка.

Тема 4. Относительные величины

4.1. Основные положения

В статистическом анализе широко используются относительные величины, которые получают делением двух абсолютных величин. При этом в числителе относительной величины находятся сравниваемые показатели, а в знаменателе - база сравнения.

Относительные величины измеряются в долях единицы, процентах, промилле, децимилле. Для получения данных в процентах результат деления умножают на 100, в промилле - 1000, децимилле выражает размер явления на 10000 единиц совокупности.

Относительная величина выполнения плана находится делением фактически выполненного объема работ к плановому объему работ. Измеряется в процентах.

Относительная величина выполнения договорных обязательств рассчитывается аналогично, только в знаменателе находится объем работ, предусмотренных в договоре.

Относительная величина сравнения исчисляется как отношение одинаковых показателей, взятых на разных территориях. Может измеряться как в процентах, так и в долях единицы. Показывает, во сколько раз различаются аналогичные показатели на разных территориях или у разных единиц совокупности в один период времени.

Относительная величина динамики находится делением одинаковых показателей, взятых в разные моменты времени, и характеризует развитие явления во времени. При этом в числителе берут сравниваемую величину, а в знаменателе - тот же показатель, но в более ранний период времени. Иначе данный показатель называется темпом роста. Исчисляться он может в долях единицы или в процентах.

Относительная величина структуры характеризует состав совокупности, показывая доли отдельных элементов в общем объеме совокупности. Находится она делением величины признака у отдельной единицы совокупности на суммарное значение признака у всех единиц совокупности. Исчисляется в долях единицы или в процентах.

Относительная величина координации характеризует соотношение отдельных частей совокупности между собой. Находится как отношение величины признака у одной единицы совокупности к величине признака у другой единицы.

Относительная величина интенсивности показывает, насколько широко одно явление развито в среде другого. При расчете данного показателя в числителе находится значение изучаемого признака, в знаменателе - значение признака, характеризующего объем среды распространения. Исчисляется, как правило, в промилле (на 1000 единиц), децимилле (на 10000 единиц) или на 100000 единиц.

4.2. Задача №4.6

Условие задачи

Численность специалистов с высшим и средним специальным образованием, занятых в народном хозяйстве области, характеризуется следующими данными (на конец года, тыс. чел.):

Исчислите относительные величины, характеризующие соотноше­ния: 1) между общей численностью специалистов с высшим образованием и средним специальным образованием; 2) между инженерами и техниками; 3) между экономистами и экономистами-статистиками, с одной стороны, и плановиками и статистиками – с другой.  

Решение

В данной задаче требуется сравнить между собой одинаковые показатели, взятые в разных выборках. Таким образом, необходимо найти относительные величины сравнения:

1) между общей численностью специалистов с высшим образованием и средним специальным образованием:

Оср = 172,5 / 273,1 = 0,632

2) между инженерами и техниками:

Оср = 83,1 / 154,5 = 0,538

3) между экономистами и экономистами-статистиками, с одной стороны, и плановиками и статистиками – с другой:

Оср = 273,1 / 17,5 = 15,606

Выводы:

Относительные величины сравнения позволяют придти к следующим выводам:

- специалистов с высшим образованием меньше, чем специалистов со средним специальным образованием в 0,632 раза;

- инженеров меньше, чем техников в 0,538 раз;

- экономистов и экономистов-статистиков больше, чем плановиков и статистиков в 15,606 раза.

Тема 6. Выборочное наблюдение

6.1. Основные положения

При использовании выборочного наблюдения можно рассчитать средние значения показателей в выборочной совокупности и долю единиц совокупности, обладающих альтернативным признаком. Данные характеристики, полученные при выборочном обследовании, будут отличаться от характеристик генеральной совокупности на величину ошибки репрезентативности.

При расчете ошибки репрезентативности выбор формулы зависит от способа формирования выборки (повторный или бесповторный отбор), а также от объема выборки.

При повторном отборе среднюю ошибку выборки можно рассчитать по формуле:

                                                    (6.1)

где μх - средняя ошибка выборочной средней;

- дисперсия выборки;

n - количество единиц в выборочной совокупности.

Формулу (6.1) можно использовать и при бесповторном отборе, если объем выборки не превышает 5% от объема генеральной совокупности.

При бесповторном отборе средняя ошибка выборки определяется по формуле:

                                              (6.2)

где N - объем генеральной совокупности.

Среднюю ошибку доли альтернативного признака определяют выделить следующим образом:

1.      Для повторного и бесповторного отбора с объемом выборки не более 5%:

                                                 (6.3)

2.   Для бесповторного отбора:

                                          (6.4)

3.   Для малой выборки:

                                                  (6.5)

где  μw - средняя ошибка доли альтернативного признака;

w - доля альтернативного признака в выборочной совокупности;

n - количество единиц в выборочной совокупности;

N - количество единиц в генеральной совокупности.

Предельная ошибка применяется тогда, когда хотят получить результат с вероятностью, большей чем 0,683. В этом случае среднюю ошибку увеличивают в t раз, где t - коэффициент доверия, определяемый по таблицам функции Лапласа:

                                                (6.6)

где Δх - предельная ошибка выборки;

t - коэффициент доверия;

μx - средняя ошибка выборки.

Аналогично определяется предельная ошибка доли альтернативного признака:

                                                (6.7)

Предельная ошибка позволяет определить границы среднего значения признака в генеральной совокупности:

                                                (6.8)

где - средняя в генеральной совокупности;

- выборочная средняя.

Пределы генеральной средней рассчитываются следующим образом:

                                     (6.9)

Для определения доли альтернативного признака в генеральной совокупности используются аналогичные формулы:

,                                            (6.10)

                                (6.11)

где Р - доля альтернативного признака в генеральной совокупности;

w - выборочная доля альтернативного признака;

Δw - предельная ошибка доли альтернативного признака.

Иногда перед проведением выборочного наблюдения определяют оптимальную численность выборки. Подобные расчеты базируются на использовании формулы предельной ошибки выборки.

При повторном отборе минимальный размер выборки определяется следующим образом:

а) для определения среднего значения признака:

,                                             (6.12)

б) для определения доли альтернативного признака: