Статистические методы анализа среднего уровня

 

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения строительных организаций по объему выполненных работ, образовав 4 группы с равными  интервалами.

   2.    Постройте графики ряда распределения.  Графически определите значения  моды и медианы.

   3.    Рассчитайте характеристики ряда  распределения: среднюю арифметическую, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

   4.    Вычислите среднюю величину по исходным данным. Сравните ее величину с аналогичным показателем п. 3. Объясните причину их несовпадения.

   Сделайте  выводы. 
 
 
 
 
 

Для начала определим  содержание и кратко опишем  применяемые  методы:

  Статистическая  группировка в зависимости от решаемых задач подразделяются на типологические, структурные аналитические. Статистическая  группировка позволяет дать характеристику размеров, структуры и взаимосвязи изучаемых явлений, выявить их закономерности.

  Важным  направлением в статистической сводке является построение рядов распределения, одно из назначений которых состоит в изучении структуры исследуемой совокупности, характера и закономерности распределения.

  Ряд распределения  – это простейшая группировка, представляющая собой распределение численности единиц совокупности по значению какого-либо признака.

  Ряды  распределения, в основе которых  лежит качественный признак,  называют атрибутивным. Если ряд построен по количественному признаку, его называют вариационным.

При построении вариационного ряда с равными интервалами определяют его число групп ( )  и величину интервала ( ). Оптимальное число групп может быть определено по формуле Стерджесса: 

       ,  (1)

      где - число единиц совокупности.

Величина  равного интервала рассчитывается по формуле: 

         (2) 

где k – число выделенных интервалов.

Средняя – является обещающей характеристикой совокупности единиц по качественно однородному признаку.

В статистике применяются различные виды средних: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структурные средние  – мода и медиана. Средние, кроме  моды и медианы, исчисляются в  двух формах: простой и взвешенной. Выбор формы средней зависит от исходных  данных и содержание определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная.

Средняя арифметическая простая  равна сумме значений признака, деленной на их число: 

       ,  (3)

      где  – значение признака (вариант);

             –число единиц признака. 
 

   Средняя арифметическая простая применяется  в тех случаях, когда варианты представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или в виде ранжированного ряда.

   Если  данные представлены  в виде дискретных или интервальных рядов распределения, в которых одинаковые значения признака ( ) объединены в группы, имеющие различное число единиц ( ), называемое частотой (весом), применяется средняя арифметическая взвешенная: 

                        (4) 
 

Для измерения  степени колеблемости отдельных  значений признака от средней исчисляются  основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия ( ) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формуле средней арифметической простой или взвешенной: 

             - невзвешенния (простая); (5)

- взвешенная. (6)

Среднее квадратическое отклонение ( ) представляет собой корень квадратный из дисперсии и равно: 

             - невзвешенния; (7)

             - взвешенная. (8) 

В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (рублях, тоннах, процентах и т.д.).

Для сравнения  размеров вариации различных признаков,  а также для сравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации – коэффициент вариации ( ), который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения и средней арифметической: 

                       (9) 

 
     По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а, следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу. 
 

РЕШЕНИЕ: 

1. Сначала определяем длину интервала по формуле (2):

т.к. k = 4, по условию  задачи, тогда длина интервала  будет равна:

i = (28-12)/4 = 4 млн. руб. 

     Следовательно, полученные интервалы:  

12-16; 16-20; 20-24; 24-28. 

 
 
 

      2. Теперь построив графики ряда распределения графически определим значения моды и медианы. 

Рис.1

 
 

По этой диаграмме (рис.1) графически определяем значение моды (М₀), по рисунку видно, что :

М₀≈ 23 

Для определение  медианы (М_е)  строится кумулятивная кривая. 

Рис.2

 

     По  этой кривой (рис.2) видно, что приблизительное  значение медианы:

М_е≈22 
 
 
 

3. Теперь рассчитываем характеристики ряда распределения по объему выполненных работ: 

 

 С помощью  этой таблицы теперь найдем  среднюю арифметическую, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации

. 

Средняя арифметическая:

     

Среднеквадратическое  отклонение:

    

Дисперсия: 

   
 

Коэффициент вариации:

    

     

Т.к коэффициент  вариации не превышает 33%, то можно говорить, что  совокупность однородная, а  средняя величина типичная ее характеристика, разброс единиц совокупности вокруг своей средней невелик. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Теперь вычислим среднюю величину по исходным даны. И сравним полученный результат с результатом в п. 3.

      

Теперь среднюю  величину будем вычислять по исходным, несгруппированным данным:

1) рассчитаем  среднюю арифметическую по формуле (3): 

;

     

В этом случае значения для сгруппированных данных и  несгруппированных сошлись, т.к. объем  варьируемого признака для всей совокупности является суммой значений признаков  отдельных ее единиц.

2) теперь рассчитываем  среднеквадратическое отклонение, по формуле (7): 

;   

3) дисперсия,  по формуле (5): 

;      
 

4) и наконец  рассчитываем коэффициент вариации, по формуле (9): 

 

;   

      

Это значение меньше 33% и следовательно, совокупность однородна, разброс единиц вокруг средней невелик. 

     

При вычислении средних величин и дисперсии  для интервальных рядов распределения истинные значения признака заменяются центральными (серединными) значениями интервалов, которые отличаются арифметической значений, включенных в  интервал. Этим и  объясняется различие в полученных результатах. 

Выводы: