Статистические методы анализа динамики численности работников

     Например, простейшими моделями (формулами), выражающими  тенденцию развития, являются:

     линейная  функция - прямая ŷ_t = а₀ + a₁t,

     где   aо + a1 – параметры уравнения; t – время;

     показательная функция ŷ_t  =  а₀ а1  ;

     степенная функция - кривая второго порядка (парабола)

     ŷ_t = а₀ + a₁t + a2t².

     В тех случаях, когда требуется  особо точное изучение тенденции  развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

     Расчет  параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

     Σ(ŷt – yi)²  →min 

       где  yt - .выравненные (расчетные)  уровни;  yi фактические уровни.

     Параметры уравнения а, удовлетворяющие этому условию. могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней .... плавно изменяющимися уровнями ŷ_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

     Выравнивание  по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

     Выравнивание  по показательной  функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

     Рассмотрим  «технику» выравнивания ряда динамики по прямой:

     ŷ_t = а₀ + a₁t. Параметры . а₀, a₁.. согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений,   полученной   путем   алгебраического преобразования условия  Σ(ŷt – yi)²  →min :

     а₀ n + a₁ Σt = Σy

     а₀ Σt + a₁ Σt² = Σyt,

       где  у - фактические (эмпирические) уровни ряда; t - время (порядковый номер периода или момента времени).

     Расчет  параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

     При четном числе уровней (например, 6), значения t -условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

     1990    1991   1992   1993   1994   1995

         - 5        -3        -1      +1       +3      +5

     При нечетном числе уровней (например, 7) значения устанавливаются по-другому:

     1989      1990    1991     1992     1993     1994     1995

         -3           -2         -1           0         +1         +2        +3

     В обоих случаях  Σt = 0,  так что система нормальных уравнений принимает вид:

     Σy = n а_0;   

     Σyt = a₁ Σt²

                                                          Σy

     Из  первого уравнения  а₀     =      n

                                                                       Σyt

                    Из второго уравнения:  a₁  =   Σt 

     7 Методы изучения сезонных колебаний 

     При сравнении квартальных и месячных данных многих социально – экономических   явлений часто обнаруживаются периодические

     колебания, возникающие под влиянием смены времен года. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также многочисленных и разнообразных факторов, которые часто являются регулируемыми.

     В широком понимании к сезонным относят все явления, которые  обнаруживают в своем развитии отчетливо  выраженную закономерность внутригодовых изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

     В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и  постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания» или «сезонные волны», а динамический ряд в этом случае называют сезонным рядом динамики.

     Сезонные  колебания наблюдаются в различных  отраслях экономики: при производстве большинства сельскохозяйственных продуктов, их переработке, в строительстве, транспорте, торговле и т.д. Значительной колеблимости во внутригородской Динамике подвержены денежное обращение и товарооборот. Наибольшие денежные доходы образуются у населения в 3 и 4 кварталах, особенно это характерно для селян. Максимальный объем розничного товарооборота приходится на конец каждого года. Спрос на многие виды услуг, производство молока, мяса, шерсти, улов рыбы колеблются по сезонам.

     Сезонные  колебания обычно отрицательно влияют на результаты производственной деятельности, вызывая нарушения ритмичности  производства. Поэтому хозяйственные организации принимают меры для смягчения сезонности за счет рационального сочетания отраслей, механизации трудоемких процессов ,создания агропромышленных фирм и т.д.

     Комплексное регулирование сезонных изменений  по от 
дельным отраслям экономики должно основываться на исследовании сезонных колебаний. 

     В статистике существует ряд методов  изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой заключается в  построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности Is. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней к теоретическим (расчетным) уровням, выступающих, в качестве базы сравнения.

     Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонности вычисляют по данным за несколько лог (не менее трех), распределенным по месяцам.

     Если  ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

     Для каждого месяца рассчитывается средняя  величина уровня, например за три года (уt), затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда у. После чего определяется показатель сезонной волны — индекс сезонности Is как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %:

                              yi

      Is =       y     * 100

      где   y_t - средняя для каждого месяца минимум за три года;

      y - среднемесячный уровень для всего ряда. 

     Для наглядного примера можно привести аналитическую часть курсовой работы, задание 4 

     8 Экстраполяция в рядах динамики и прогнозирование 

     Необходимым условием регулирования рыночных отношений является составление надежных прогнозов развития социально-экономических явлений.

     Выявление и характеристика трендов и моделей  взаимосвязи создают базу для  прогнозирования, т.е. для определения  ориентировочных размеров явлений  в будущем. Для этого используют метод экстраполяции.

     Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция). Поскольку в действительности тенденция развития не остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки.

     Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравниванием по аналитическим  формулам. Зная уравнение для теоретических уровней и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, рассчитывают для t вероятностные ŷ_t.

     На  практике результат экстраполяции  прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

     Для определения границ интервалов используют формулу: 

     ŷ_t + tαSŷt 

       где tα— коэффициент доверия  по распределению Стьюдента; 

     Sŷt  = √ Σ(yi-ŷt)²/(n-m) 

     остаточное  среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу-степеней свободы* (n-m ); n — число уровней ряда динамики; т — число параметров адекватной модели тренда (для уравнения прямой m = 2).

     Вероятностные   границы   интервала   прогнозируемого явления:

     ( ŷttαSŷt ) ≤ yпр ≤ ( ŷt+tαSŷt )

     Нужно иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит не только приближённый, но и условный характер.

     Поэтому её следует рассматривать как  предварительный этап в разработке прогнозов. Для составления прогноза должна быть привлечена дополнительная информация, не содержащаяся в самом динамическом ряду.

 

      2. Практическая  часть

 

     Задание 1

     По  исходным данным таблицы 1:

1. Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку среднесписочная численность работников, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.
3. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным (таблица 1), сравните его с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 настоящего задания. Объяснить причину их расхождения.

     Сделать выводы по результатам выполнения задания. 

     Задание 2

     По  исходным данным таблицы 1:

1. Установите наличие и характер связи между признаками среднегодовая стоимость основных производственных фондов и среднесписочная численность работников, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

     - аналитической группировки;

     - корреляционной таблицы.

2. Измерите тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения. Сделайте выводы.

 

      Таблица 1