Лекция по "Статистике"

  Каждое  звено скользящей средней - это средний  уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

  Для каждого конкретного ряда динамики (у₁,, у₂, ..., у_n) алгоритм расчета скользящей средней следующий.

1. Определить интервал сглаживания, т. е. число входящих в него уровней m(m<n), используя правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний, возникающих, например, из-за автокорреляций уровней.
2. Вычислить среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при условии, что ш- нечетное число, по одной из формул:

 
 

ȳ_t=  или ȳ=ȳ_t-1+

(10,22)

где у, - фактическое  значение i-го уровня;

m- число уровней, входящих в интервал сглаживания (m= 2р + 1);

 у₁ - текущий уровень ряда динамики;

i- порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

р - при нечетном mравно: р = (ш - 1)/2. 

Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики несколько сложнее, так  как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания.

Если число  членов скользящей средней обозначить через 2m, то серединным будет уровень, относящийся к m+1/2 члену ряда, т. е. имеет место сдвиг периода, к которому относится уровень. Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим периодами, следующая средняя - к середине между третьим и четвертым и т. д. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

3. Сдвинуть интервал сглаживания на одну точку вправо, потом вычислить по формуле (10.22) сглаженное значение для t+1 члена, снова произвести сдвиг и т. д. В результате последовательного применения приведенной итеративной процедуры получится n-(m-l) новых сглаженных уровней.

  Первые  и последние p членов ряда с помощью данного алгоритма сгладить нельзя, так как их значения теряются.

  Покажем расчет 5-летней и 4-летней скользящих средних  на примере данных табл. 10.8. Как видим, скользящая средняя дает более или менее плавное изменение уровней (рис. 10.3).

                               Таблица 10.8 
 
 
 
 
 

  
 
 
 
 
 

                            Сглаживание урожайности зерновых  культуp

        в хозяйстве за 1979 - 1994 гг. методом

      скользящей  средней

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Метод простой скользящей средней вполне приемлем, если 1рафическое изображение  ряда динамики напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления. Однако когда  тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и к тому же желательно сохранить мелкие волны, использовать для сглаживания ряда метод простой скользящей средней нецелесообразно, так как простая скользящая средняя может привести к значительным искажениям исследуемого процесса. В таких случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

    
 

% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

  1979    1980     1981   1982    1983    1984   1985    1986    1987    1988   1989    1990    1991   1992   1993 1994

годы

 
  

      •  Центнеров с 1 га

—о—— Четырехлетние скользящие средние центрированные

 
 
  

Рис. 10.3. Динамика урожайности  зерновых культур  в хозяйстве за 1979

- 1994 гг.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Метод взвешенной скользящей средней. Взвешенная скользящая средняя отличается от простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами. Это связано с тем, что аппроксимация сглаживаемого ряда динамики в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней,

рассчитанных  по полиному ȳ_i= а₀ + а_i·i + а₂·i² +... (здесь i- порядковый номер уровня в интервале сглаживания). Полином первого порядка ȳ= а₀ + а_i·iесть уравнение прямой, следовательно, метод простой скользящей средней является частным случаем метода взвешенной скользящей средней. Коэффициенты полиномов находятся по способу наименьших квадратов (глава 9).

  На  первом этапе сглаживания определяются интервал сглаживания и порядок  аппроксимирующего полинома - параболы. Считается, что при использовании  полиномов' высоких степеней и при  меньших размерах интервалов сглаживание  ряда динамики будет более "гибким". 

  Центральная ордината параболы принимается за сглаженное значение соответствующего фактическим  данным уровня. Поскольку отсчет времени  в пределах интервала сглаживания  производится от его середины, т. е. (t=i) i=..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., то сглаженное значение уровня равно параметру а₀ подобранной параболы и является соответствующей скользящей средней. Поэтому для сглаживания нет необходимости прибегать к процедуре подбора системы парабол, так как величину а₀ можно получить как взвешенную среднюю из mуровней. 

   Например, если в интервал сглаживания входят пять последовательных уровней ряда со сдвигом во времени на один шаг, а выравнивание проводится по полиному второго порядка, то коэффициенты полинома находятся из условия. 

       

Учитывая, что для нечетных kƩt^k = 0, приходим к системе: 

Для определения  а₀ необходимо найти значения  

Так как интервал сглаживания равен m=5, тогда  
 
 

Нормальные  уравнения, определяющие а₀ и а₂, в этом случае записываются так:

(10.23)

 

Решение этой системы относительно а₀ может быть представлено следующим образом: 

               a₀ =(-3y_t-2+12y_t-1+17y_t+12y_t+1-3y_t+2).

Аналогичным путем получим выражения и  для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка. Так, например, для 
 

  Согласно  приведенным формулам веса симметричны  относительно центрального уровня (у_t), и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

  По  данным рассмотренного выше примера  с урожайностью зерновых получим  следующие значения взвешенных скользящих средних для т=5 (см. табл. 10.8, гр. 7). Пятичленная скользящая средняя  показывает, что на протяжении периода  с 1979 по 1994 г. наблюдается рост урожайности  зерновых культур.

  Выбор уравнения тренда, отображающего развитие социально-экономических явлений во времени. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные уравнения, полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

  Полиномы  имеют следующий вид: 

• полином первой степени ȳt= а₀+ а₁t;

 

• полином второй степени ȳ_t= а₀ + а₁t+ а₂t²;

 

• полином третьей  степени ȳ_t= а₀ + a₁t +a₂t²+a₃t³;
• полином n-й степени ȳ_t= а₀ + a₁t+a₂t²+ ... + a_ntⁿ,

»

  где а₀; a₁; а₂; ...; а_п - параметры полиномов; t- условное обозначение времени.

  В статистической практике параметры  полиномов невысокой степени  иногда имеют конкретную интерпретацию  характеристик динамического ряда. Так, параметр а₀ трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры а₁ а₂, а₃ - изменение ускорения.

  В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин  конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т. д.

  Для полиноминальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными  приростами и приростами уровней  рядов динамики.

  Предполагаемой  функцией, отражающей процесс роста  явления, может быть и экспонента ȳ_t=а₀а^t₁ или ȳ_t=a_0·(a₁)^b₁^+b₂^tЭкспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции.

  Отдельные уравнения выражают различные типы динамики. Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции: 1) линейную; 2) параболическую; 3) степенную; 4) экспоненциальную простую (показательную) и производную от нее логарифмическую линейную; 5) сложную экспоненциальную и производную от нее - логарифмическую параболу; 6) гиперболическую (главным образом убывающих процессов); i) комбинацию их видов.

  Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т. е. которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, применяются логистические функции.

  Логистическую функцию часто записывают в следующем  виде: 

  где С - основание натурального логарифма.

  Логистическая кривая симметрична относительно точки  перегиба и при t=−стремится к нулю, а при t=+стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти