Лекция по "Статистике"

сии двух исследуемых совокупностей (σ²₁= σ²₂) исчисляется, отношение средних с помощью выражения:

                           
                                                    t =  

(10.17) 
 

  где ȳ₁ и ȳ₂ - средние для первой и второй половины ряда динамики;

n₁и n₂ - число наблюдений в этих частях ряда;

о среднее  квадратичeское отклонение разности средних.

  Значение  tαберется с числом степеней свободы равным п₁+n₂-2. Необходимое значение σможно определить на основе средней взвешенной величины дисперсий отдельных совокупности: 
 

                                                                                         ( 10.18) 

  При оценивании дисперсий для первой и второй частей ряда динамики σ²_{1 и}σ²₂возьмем число степеней свободы, равное n₁-1 и n₂-1 соответственно:

,   i=1,2…,n.

  Проверка  гипотезы о равенстве дисперсий  реализуется с помощью F-критерия, который основан на сравнении расчетного отношения с табличным.

  ,                                                            (10.19)

где σ²_1>σ²₂

  Если  расчетное значение Fменьше, чем табличное, при заданном уровне вероятности, то можно принять гипотезу о равенстве дисперсий. Если же Fбольше, чем табличное значение, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется, и, следовательно, формула (10.17) для испытания разности средних не может быть применена.

  Следует заметить, что данный метод дает вполне приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда, поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличие тенденции.

  Метод Фостера - Стюарта кроме определения наличия тенденции явления позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений. Расчет состоит из следующих этапов.

  1. Сравнивается каждый уровень  ряда со всеми предыдущими,  при этом

                                eсли y_i > y_i-1; y_i-2…y_i,то U_i=1; e_i=0;

                       при y_i<y_i-1; y_i-2…y_i, то U_i=0;e_i=1.

  2. Вычисляются значения величин  Sи d: 

(10.20)

где S_i=U_i+e_i;

        d_i+U_i-e_i.

  Анализируя  формулу (10.20), нетрудно заметить, что  величина Sможет принимать значения 0Sn-1, причем S=0, когда все уровни ряда равны между собой, и S=n-1, когда ряд динамики монотонно убывает или возрастает. Показатель Sхарактеризует тенденцию изменения дисперсии ряда динамики.

  Показатель  dимеет нижний предел, равный - (n-1) и верхний - (n- 1). В первом случае ряд является монотонно убывающим, во втором - монотонно возрастающим. Кроме того, показатель dможет быть равен нулю:

• если все уровни ряда равны между собой, тогда U_i= Ʃе_i. (Данное условие выполняется для ряда, который в первой половине является монотонно убывающим, а во второй - монотонно возрастающим);
• если уровни подъема и спада чередуются, причем каждое следующее значение уровня подъема (спада) должно быть больше (меньше) всех последующих.

  Перечисленные случаи, при которых показатель d=0, представляют лишь теоретический интерес, и вероятность их использования при проведении практических расчетов крайне незначительна. Показатель dхарактеризует изменение тенденций в среднем.

  Оба показателя Sи dасимптотически нормальны и имеют независимые распределения. 

      3. Проверяется с  использованием t-критерия  Стьюдента гипотеза  о том, можно  ли считать случайными  разности Sμ- и d-0:

_s= ;              t_d=

(10.21)

где μ - среднее  значение величины S, определенное для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

 σ, стандартная  ошибка величины S;

σ, - стандартная  ошибка величины d. 

                              Значения величин μ₁ σ₁ и σ₂ табулированы и приведены в табл. 10.6.

         Таблица 10.6

                   Значения средней и стандартных ошибок ₁ и₂

                                                                   для nот 10 до 55*

 

4. Сравниваются расчетные  значения t_sи t_dcтабличным при заданном уровне значимости. Если t_s < t_табл и t_d <t _табл , то гипотеза об отсутствии тренда в средней и дисперсии подтверждается.

Рассмотрим в качестве примера определение наличия  тенденции в ряду динамики производства реализованной продукции на производственном объединении за 1975 - 1994 гг. (табл. 10.7).

                                 Таблица 10.7

Реализованная продукция производственного объединения. Определение U, и е. 

 
 

  Из  формулы (10.20) определяем S=7, d=5. По данным табл. 10.3 при n=20 μ= 5,195, σ₁= 1,677, σ₂ = 2,279. Подставляя полученные значения в формулу (10.21), рассчитаем:

t_s = t_d =.

Ближайшее табличное значение t_тa6лдля двустороннего критерия при уровне значимости 0,10 равно t_табл= 1,725, т. е. T_табл>t_s, t_табл<t_d. Следовательно, гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсии показателя реализованной продукции подтвердилась, а в средней - отвергнута.

10.6. МЕТОДЫ АНАЛИЗА  ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ  (ТРЕНДА) В РЯДАХ  ДИНАМИКИ

  После того как установлено наличие тенденции  в ряду динамики, производится ее описание с помощью методов сглаживания. , Методы сглаживания разделяются на две основные группы.

1. Сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней.
2. Выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

  Рассмотрим  каждый из них.

  Метод усреднения но левой и правой половине. Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

  Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдаются снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. Поэтому для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, основанный на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т. д.

  Метод простой скользящей средней.Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы "скользят" по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название -скользящая средняя.