Контрольная работа по "Статистики"

 

 

6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

 

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные  и теоретические частоты по критерию Пирсона:

 

χ2 =	k ∑ i=1	(ni - niT)2
		niT

 

Статистика χ² имеет распределение с υ = k - r – 1 степенями свободы, где число k – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно υ = k – 3.

В теории математической статистики оказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются  следующие неравенства: N ≥ 50, n_i^T ≥ 5, где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений приведённых  в таблице 5.2, следует, что необходимое  условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнено, т.к. в некоторых n_i^T<5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяются с соседними и соответственно суммируются. Так объединяют все группы с частотами n_i^T<5 до тех пор, пока для каждой новой группы не будет выполняться условие n_i^T ≥ 5.

При уменьшении числа групп для  теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы υ = k – 3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.2 приведены соответственно в таблице 6.1. Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

 

Таблица 6.1 – Результаты объединения интервалов и теоретических частот.

(xi-1; xi)	piT=h* φ(хi)	niT= piT *N	ni	(ni - niT)2	(ni - niT)2/ niT
(18; 19,6)	0,0738	4,4294	5	0,3256	0,0735
(19,6; 20,4)	0,1708	10,2485	11	0,5648	0,0551
(20,4; 21,2)	0,2806	16,8353	13	14,7095	0,8737
(21,2; 22)	0,2674	16,0456	20	15,6373	0,9746
(22; 22,8)	0,1497	8,9824	7	3,9299	0,4375
(22,8; 24,4)	0,0575	3,4456	4	0,3074	0,0892
	∑ piT = 0,9998	∑ niT = 59,9868	∑ ni = 60		∑ = 2,5036

 

Процедура проверки гипотезы распределения  случайной величины Х выполняется  в следующей последовательности:

1. Задаются уровнем значимости α=0,05 или одним из следующих значений α₁=0,01, α₂=0,1, α₃= 0,005.
2. Вычисляют наблюдаемое число критерия

χнаб2 =	k ∑ i=1	(ni - niT)2	, используя экспериментальные  и теоретические частоты из  таблицы 6.1.
		niT

 

  

3. Для выборочного уровня значимости α=0,05 по таблице распределения находят критические значения χ_кр² при числе степеней свободы υ = k – 3, где k – число групп эмпирического распределения.
4. Сравнивают фактически наблюдаемое χ_наб² с χ_кр², найденным по таблице 3.2, и принимают решение:

а) если χ_наб² > χ_кр², то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости;

б) если χ_наб² < χ_кр², то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

При выбранном уровне значимости α=0,05 и числе групп k = 5 число степеней свободы υ=2. По таблице 3.2 для α=0,05 и υ=2 находим χ_кр²= 5,99.

В результате получим:

Для χ_наб² = 2,5036, которое нашли по результатам вычислений, приведённых в таблице 5.2, имеем:

χ_наб² = 2,5036 < χ_кр²= 5,99.

Нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной  величины Х.

 

xi	18,8	20	20,8	21,6	22,4	23,6
φ(хi)	0,1042	0,2292	0,2708	0,4167	0,1458	0,0833
~ φ(хi)=f(zi)/σ	0,0923	0,2135	0,3507	0,3343	0,1871	0,0718

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Литература

 

 

1. Гмурман В.Е.

Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для  вузов. 5-е издание, перераб. и допол. – М.: Высшая школа, 1977 – 479 стр., ил.

2. 2. Гмурман В.Е.

Руководство к решению задач  по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для  студентов вузов. 3-е издание, перераб. и допол. – М.: Высшая школа, 1977 – 400 стр., ил.

3. Конспект лекций