Контрольная работа по "Статистики"

                        _{2                               2}

 

χ₂² = χ₂² _{1- р1; N  - 1} = χ₂² _{α; N – 1}

   _{2   2}

 

χ₁² и χ₂² – это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая χ² (хи-квадрат) распределение при выбранной вероятности р_i и заданной степенью свободы υ.

Для Р₁ = 0,95; 1 - р₁ = 0,025; 1 + р₁ = 0,975  и υ = 59 находим по таблице 3.2

2.                    2

 

χ₁² = χ₁² _{0,975; 59} = 40,4817

χ₂² = χ₂² _{0,025; 59} = 83,2976

 

Подставляя в неравенства χ₁² и χ₂² и произведя вычисления, получим интервальную оценку:

69,8409	< σ2 <	69,8409
83,2976		40,4817

 

0,8385 < σ² < 1,7252

 

Для Р₂ = 0,99; 1 – р₂ = 0,005; 1 + р₂ = 0,995  и υ = 59 находим по таблице 3.2

2.                    2

χ₁² = χ₁² _{0,995; 59} = 35,5346

χ₂² = χ₂² _{0,025; 59} = 91,9517

Подставляя в неравенства χ₁² и χ₂² и произведя вычисления, получим интервальную оценку:

69,8409	< σ2 <	69,8409
91,9517		35,5346

 

0,7595 < σ² < 1,9654

 

Для интервальной оценки среднего квадратического  отклонения имеем:

 

____          √N-1  * σ	< σ <	____          √N-1  * σ
√χ22		√χ12

 

При Р₁ = 0,95:

___          √59    * 1,0880	< σ <	___          √59  * 1,0880
√83,2976		√40,4817

 

0,9157 < σ < 1,3134

 

При Р₂ = 0,99:

___          √59    * 1,0880	< σ <	___          √59  * 1,0880
√91,9517		√35,5346

 

0,8715 < σ < 1,4019

 

4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисления моды и медианы.

 

Используя исходные фактические данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х.

 

Таблица 4.1. – Выборка

18,25	20,34	21,31	21,82
18,69	20,59	21,31	21,84
19,05	20,68	21,33	21,85
19,19	20,69	21,36	21,88
19,45	20,71	21,5	22,03
19,63	20,73	21,53	22,13
19,82	20,78	21,53	22,31
20,06	20,88	21,53	22,36
20,13	20,89	21,59	22,37
20,23	20,90	21,61	22,50
20,24	21,02	21,63	22,76
20,25	21,04	21,67	22,83
20,28	21,04	21,69	22,84
20,29	21,15	21,75	22,86
20,32	21,22	21,76	23,89

 

Интервал [18,25; 23,89], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина  частичного интервала равна:

 

h =	Xmax - Xmin	=	23,89 – 18.25	= 5,64 / 6,9074 = 0,8165 ≈ 0,8
	1 + 3,32211 lg N		1 + 3,32211 * 1,7782

 

 

Для удобства и простоты расчётов выбираем h = 0,8 и вычисляем границы интервалов.

За начало первого интервала  принимаем значение

Х₀ = X_min – h/2 = 18,25 – 0,8/2 = 17,85 ≈ 18

Которое округляется до целого значения, и принимаем Х₀ = 18. Далее вычисляем границы интервалов.

Х₁ = X₀ + h = 18 + 0,8 = 18,8

Х₂ = X₁ + h = 18,8 + 0,8 = 19,6

Х₃ = X₂ + h = 19,6 + 0,8 = 20,4

Х₄ = X₃ + h = 20,4 + 0,8 = 21,2

Х₅ = X₄ + h = 21,2 + 0,8 = 22

Х₆ = X₅ + h = 22 + 0,8 = 22,8

Х₇ = X₆ + h = 22,8 + 0,8 = 23,6

Х₈ = X₇ + h = 23,6 + 0,8 = 24,4

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство Х_n > X_max, то есть Х₈ = 24,4 > X_max = 23,89.

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой строке таблицы помещаем частичные интервалы; во второй строке – середины интервалов; в третьей строке записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал – частоты; в четвёртой строке записаны относительные частоты и в пятой строке записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности.

Таблица 4.2. – Значения выборочной функции плотности

[xi-1; xi]	[18; 18,8)	[18,8; 19,6)	[19,6; 20,4)	[20,4; 21,2)	[21,2; 22)	[22; 22,8)	[22,8; 23,6)	[23,6; 24,4)
X=(xi-1 + xi)/2	18,4	19,2	20	20,8	21,6	22,4	23,2	24
ni	2	3	11	13	20	7	3	1
Wi = ni / N	0,0333	0,05	0,1833	0,2167	0,3333	0,1167	0,05	0,0167
φ(хi)= ni/N*h	0,0417	0,0625	0,2292	0,2708	0,4167	0,1458	0,0625	0,0208
* 103	41,7	62,5	229,2	270,8	416,7	145,8	62,5	20,8

 

По результатам вычислений функции  плотности, представленной в таблице  и графика, можно сделать вывод, что мода имеет один локальный  максимум в окрестностях точки

х = 21,6 с частотой n = 20.

Оценку медианы находим, используя, вариационный ряд:

М_е = ½ * (x_k + x_k+1) = ½ * (x₃₀ + x₃₁) = ½ * (21,22 + 21,31) = 21,265

Так как N = 2k, то k = N/2 = 60/2 = 30

   __

Сравнение оценки медианы М_е = 21,265 и оценки математического ожидания Х = 21,1318 показывает, что они отличаются на 0,63 %.

 

5. Параметрическая оценка функции плотности распределения.

 

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон  распределения, найдём параметрическую  оценку функции плотности, используя  формулу для плотности распределения вероятности нормального закона:

 

φ(x)=	1	_        ~    - (x –  X) / 2 σ2 e
	~   ___ σ √ 2 π

 

_   ~

где Х и σ известны – они  вычисляются по выборке.

Значения этой функции вычисляют  для середин частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при х = х_i. На практике для упрощения вычислений функции, где i – 1,2,…,k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины 5.1:

 

f(z)=	1	- (z)2 / 2 e
	___  √ 2 π

 

 

Для этого вычисляют

 

zi =	_ xi - X
	~ σ

для i – 1,2,…,k, а затем по таблицам 5.1 находят значение f(z_i) и вычмсляют функцию.

~

Функция φ(x_i), вычисленная при заданных параметрах Х и σ, в середине фактически являются теоретической относительной частотой, отнесённой к середине частичного интервала.

 

~ φ(xi)=	piT	niT
	h	N * h

 

Поэтому для определения теоретической n_i^T, распределённой по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на N * h.

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 5.2. Из результатов вычислений следует, что сумма вероятностей в интервале (18; 24,4) равна единице.

Сравнение экспериментальных и  теоретических частот по критерию Пирсона  с целью проверки гипотезы о нормальном распределении возможно только в том случае, если для каждого частичного интервала выполняется условие n_i^T ≥ 5. Те частичные интервалы, для которых частоты n_i^T < 5 объединяем с соседними. Соответственно объединяем и экспериментальные частоты n_i.

 

Таблица 5.2 – Результаты вычисления экспериментальных и практических вероятностей частот.

[xi-1; xi]	ni	X=(xi-1 + xi)/2	рi = ni / N	φ(хi)	__ ~ zi = (xi – X)/σ	~ φ(хi)=f(zi)/σ	piT=h* φ(хi)	niT= piT *N	niT ≈
[16,4;14,2)		16,8			-3,9814	0,0002	0,0001	0,0088	0,01
[17,2; 18)		17,6			-3,2461	0,0019	0,0015	0,0926	0,1
[18; 18,8)	2	18,4	0,0333	0,0417	-2,5108	0,0157	0,0126	0,7544	1
[18,8; 19,6)	3	19,2	0,05	0,0625	-1,7756	0,0766	0,0612	3,6750	4
[19,6; 20,4)	11	20	0,1833	0,2292	-1,0403	0,2135	0,1708	10,2485	10
[20,4; 21,2)	13	20,8	0,2167	0,2708	-0,3050	0,3507	0,2806	16,8353	17
[21,2; 22)	20	21,6	0,3333	0,4167	0,4303	0,3343	0,2674	16,0456	16
[22; 22,8)	7	22,4	0,1167	0,1458	1,1656	0,1871	0,1497	8,9824	9
[22,8; 23,6)	3	23,2	0,05	0,0625	1,9009	0,0602	0,0482	2,8897	3
[23,6; 24,4)	1	24	0,0167	0,0208	2,6362	0,0116	0,0093	0,5559	1
[24,4; 25,2)		24,8			3,3715	0,0013	0,0010	0,0618	0,1
[25,2; 26)		25,6			4,1068
							∑piT = 0,9999	∑ niT = 59,9868
			∑pi = 1				∑piT = 1,0025	∑ niT = 60,15