Контрольная работа по "Статистики"

Содержание

 

 

 

1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные______________	стр. 3
2. Вычисление основных  выборочных характеристик по  заданной выборке____________________________________________________________	стр. 4
3. Результаты вычислений  интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии ________________________________________________	стр. 7
4. Результаты ранжирования  выборочных данных и вычисление  моды и медианы_____________________________________________________________	стр. 10
5. Параметрическая оценка  функции плотности распределения____________	стр. 12
6. Проверка гипотезы  о нормальном распределении случайной  величины по критерию Пирсона____________________________________________________	стр. 14
7. Литература______________________________________________________	стр. 17

 

1. Постановка задачи.

 

По выборке объёма N провести статистическую обработку результатов эксперимента.

Цель работы:

Изучить и усвоить основные понятия  математической статистики. Овладеть методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения. Ознакомиться с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

Исходные данные:

Проведён эксперимент, в результате которого была получена выборка объёма N=60, которая соответствует случайной величине, распределённой по нормальному закону.

 

Таблица 1.1. – Выборка

21,63	21,53	21,53	20,59
20,71	22,86	21,69	21,84
21,04	20,34	21,67	21,02
21,88	22,36	21,53	18,69
21,36	21,04	20,78	20,88
20,29	19,63	22,31	20,32
22,84	20,90	18,25	19,45
20,69	22,76	20,06	21,85
20,68	20,89	20,25	20,13
19,82	22,03	22,83	20,28
22,37	22,50	21,76	21,75
20,23	21,59	21,31	21,61
20,73	20,24	21,50	23,89
21,15	21,33	22,13	21,82
21,22	21,31	19,19	19,05

 

 

2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке.

 

1. Среднее арифметическое случайной величины Х

— X	=	N = 60	= 1267,91/60 = 21,1318
		∑ xi
		i = 60
		N

 

 

2. Среднее линейное отклонение

 

d	=	1	N                   ___ ∑ ‌‌‌│Xi – X │ i = 1	= 51,0428/60 = 0,8507
		N

 

 

3. Дисперсия случайной величины Х

 

^ D [X]	=	^ σ2	=	1	N                 ___ ∑ ‌‌‌(Xi – X)2 i = 1	= 69,8379/60 = 1,1640
				N

 

 

4. Несмещённая оценка дисперсии

 

~ D [X]	=	~ σ 2	=	1	N                 ___ ∑ ‌‌‌(Xi – X)2 i = 1	= 69,8379/59 = 1,1837
				N - 1

 

 

5. Среднее квадратическое отклонение

 

^ σ

=

_____ √D [X]

_____ = √ 1.1640 = 1,07888

 

 

6. Несмещённая выборочная оценка для среднего квадратического отклонения

 

~ σ	=	_____   / ~	______ = √ 1,1837 = 1,0880
		√  D [X]

7. Коэффициент вариации

 

V	=	~ σ	* 100 %	=	1,0880	* 100 %	= 0,0515 %
		__ X			21,1318

 

 

Для того, чтобы количественно оценить  различие распределений, отличных от нормального, вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс. Для нормального  распределения эти характеристики равны нулю. Если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному; большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительные отклонения от нормального.

8. Коэффициент асимметрии случайной величины Х

 

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: A_S = µ₃ / σ³.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды: если «длинная часть» прямой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если левее – отрицательна.

 

^ AS	=	1	N                 ___ ∑ ‌‌‌(Xi – X)3 i = 1	=	1	-19,5195	= - 0,2526
		N			60
		~ σ 3			1,2879

 

 

9. Коэффициент эксцесса случайной величины Х

 

Для оценки «крутости», т.е. большего или меньшего подъёма кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой – эксцессом.

Эксцессом теоретического распределения  называют характеристику, которая определяется равенством: E = µ₄ / σ⁴ – 3.

Для нормального распределения µ₄ / σ⁴ = 3, следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

 

^ E	=	1	N                 ___ ∑ ‌‌‌(Xi – X)4 i = 1	- 3 =	1	264,0515	- 3 = 3,1408 – 3 = 0,1408
		N			60
		~ σ 4			1,4012

 

 

10. Вариационный размах

 

R = X_max – X_min = 23,89 – 18,25 = 5,64

 

 

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

1. Необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный  закон распределения, выполняется, так как для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V = 0,0515% < 0,33%

2. Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е.   ^      ^

A_S = E = 0

   ^           

По результатам вычисления асимметрия близка к нулю A_S = - 0,2526. Коэффициент             ^

эксцесса  близок к нулю E = 0,1408. Поэтому необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

3. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии.

 

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся известной формулой

 

__     X – t N-1, p	~ σ	__ < a < X +  t N-1, p	~ σ
	__ √ N		__ √ N

 

где а = M [X] – математическое ожидание

N – 1 = V – число степеней свободы

T _{V, p} – величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина, имеющая определённый закон распределения при заданной доверительной вероятности p и заданном числе степеней свободы V.

          __

Подставляем в формулу вычисленные  ранее значения Х, σ и N, в результате получим:         ___         ___

21,1318 – t _{N-1, p} * 1,0880/√60 < a < 21,1318 + t _{N-1, p}  * 1,0880/√60

задаёмся доверительной  вероятностью

Р₁ = 0,95; P₂ = 0,99

Для каждого значения p_i (i = 1,2 …) находим по таблице 3.1 значения t _{59; pi} и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

При Р₁ = 0,95   t _{59; 0,95} = 2,00

     21,1318 – 2 * 1,0880/√60 < a < 21,1318 + 2 * 1,0880/√60

21,1318 – 2 * 1,0880/7,7460 < a < 21,1318 + 2 * 1,0880/7,7460

                    21,1318 – 0,2809 < a < 21,1318 + 0,2809

20,8509 < a < 21,4127

При Р₂ = 0,99   t _{59; 0,99} = 2,66

21,1318 – 2,66 * 1,0880/√60 < a < 21,1318 + 2,66 * 1,0880/√60

21,1318 – 2,66 * 1,0880/7,7460 < a < 21,1318 + 2,66 * 1,0880/7,7460

                    21,1318 – 0,3736 < a < 21,1318 + 0,3736

20,7582 < a < 21,5054

 

 

Для интервальной оценки дисперсии  существуют следующие неравенства:

 

~ (N-1)  σ2	< σ2 <	~ (N-1)  σ2
χ22		χ12

 

Подставляя в неравенство известные  значения N и σ, получим неравенство, в котором неизвестны χ₁² и χ₂²:

59 * 1,08802	< σ2 <	~ 59 * 1,08802
χ22		χ12

 

69,8409	< σ2 <	69,8409
χ22		χ12

 

Задаваясь доверительной вероятностью р₁ (или уровнем значимости α) вычисляем значения 1 - р₁ и 1 + р₁. Используя эти два значения и степень свободы υ = N – 1 по

      2          2

таблице 3.2 находим χ₁² и χ₂².

χ₁² = χ₁² _{1 + р1; N  - 1} = χ₁² _{α; N – 1}