Доходы населения

     Процедура построения ряда распределения основывается на расчете частостей (частот), соответствующих  заданным интервальным значениям среднедушевых  доходов (переменной величины) и закону логнормального распределения.

     Статистические данные о распределении населения по величине среднедушевого денежного дохода лежат в основе определения показателей, характеризующих бедность и дифференциацию населения по уровню доходов.

     Наиболее  часто используемым показателем  для описания уровня доходов является средняя арифметическая простая, т. е. сумма всех значений показателя дохода, деленная на число наблюдений:

где   - среднедушевое значение дохода i-го обследуемого;

     n – численность всего обследуемого населения

     Для интервального вариационного ряда, т.е. упорядоченных по величине результатов наблюдения, используется формула средней арифметической взвешенной:

где  к – число интервалов вариационного ряда;

  x_i¢ – середины интервалов;

     f_i – частоты ряда.

     Одним из преимуществ средней является то, что ее легко измерять и  интерпретировать. Однако одним из ее недостатков служит ее уязвимость в отношении экстремальных значений и асимметрии распределения.

     Альтернативным  показателем распределения дохода является медиана. Положительной стороной медианы в сравнении со средней является тот факт, что она — более стабильный показатель и меньше подвержена влиянию экстремальных значений и колебаний внутри выборки.

     Медиана делит совокупность пополам, одна половина имеет значения признака меньше медианы, другая половина — больше медианы. Если в вариационном ряду четное число единиц, то медиана определяется как среднее арифметическое между двумя центральными значениями.

     Медиана в интервальном вариационном ряду с равными интервалами рассчитывается по формуле:

     

где  X_Me – нижняя граница медианного ряда;

     i_Me – медианный интервал;

     Sf/2 – половина от общего числа наблюдений;

S_Me-1- сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

     f_Me – число наблюдений в медианной интервале.

     Медианным интервалом называется первый интервал, накопленная частота которого больше или равна половине суммы всех частот.

     Модой называется варианта, наиболее часто встречающаяся в данном вариационном ряду.

     Для интервального вариационного ряда модальный интервал, т.е интервал, содержащий моду, определяется по наибольшей частоте (частости) в случае равных интервалов и по наибольшей плотности  в случае неравных интервалов. Значение величины признака, равное моде, отыскивается приближенными методами.

     Мода  в интервальном вариационном ряду с  равными интервалами рассчитывается по формуле:

где  Х_Мо – нижняя граница модального интервала;

     i_Mo – модальный интервал;

f_Mo, f_Mo-1, f_Mo+1 –частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

     Мода  имеет те же достоинства, что и  медиана. Мода и медиана эффективно используются в качестве мер уровня дохода, но сравнительно со средней  арифметической реже употребляются как исходный материал для сложных методов математической статистики.

      Примеры расчета средней, моды и медианы  приведены в задании 1 расчетной  части настоящей курсовой.

     Рассмотренные средние показатели характеризуют  всю совокупность одним числом и одинаковые или близкие по величине средние могут относиться к весьма различным вариационным рядам.

     Для изучения дифференциации доходов по всему распределению используется группировка населения по квантильным  группам, которая в наглядной  форме иллюстрирует дифференциацию доходов. Этот подход основан на ранжировании единиц анализа (например, домохозяйств или индивидов) в соответствии с ростом дохода и связан с расчетом долей полного дохода, приходящихся на заданную долю единиц — квантильную группу. Децильные, квинтильные и квартильные группы — это частные примеры квантильных групп.

     Квартильный уровень дохода – значение максимального дохода в каждой четверти населения статистического ряда (вторая квартиль равняется медианному доходу). Квартильный коэффициент дифференциации доходов населения (k_кварт) характеризует во сколько раз минимальные доходы последней четверти населения превышают максимальные доходы населения первой квартили:

 
m1, m3 – соответственно первая  и третья квартили;

     Квинтильный уровень дохода – значение максимального дохода в каждой пятой части населения статистического ряда. Квинтильный коэффициент дифференциации доходов населения (k_квинт) показывает во сколько раз минимальные доходы населения последней квинтили превышают максимальные доходы населения первой квинтили:

l₁, l₄ – соответственно первая и четвертая квинтили;

     Децильный уровень дохода – значение максимального дохода в каждой десятой части населения статистического ряда (пятая дециль равняется медианному значению);Если бы доход был распределен равномерно среди единиц, то каждый дециль имел бы 10% долю от полного дохода.

     Деление населения на квантильные группы с последующим сравнением доли дохода каждой группы представляет собой весьма полезный способ анализа трендов  в неравенстве доходов в пределах страны или изучения различий между  странами.

     На  базе квантильных групп рассчитываются наиболее часто применяемые и публикуемые коэффициенты дифференциации населения по денежным доходам (квантильные коэффициенты).

     Коэффициент фондов, или фондовое соотношение (K_j) определяется как соотношение между средними значениями доходов населения или их долями в общем объеме доходов в десятой и первой децильных группах. Часто в литературе этот показатель называют превышением среднего дохода у 10% самого обеспеченного населения над средним доходом 10% самого необеспеченного населения.

     Децильный коэффициент дифференциации доходов населения К_d показывает во сколько раз минимальные доходы 10% наиболее обеспеченного населения превышают максимальные доходы 10% наименее обеспеченного населения.

     

где d₁, d₉ – соответственно первая и девятая децили.

      Пример  расчета децильного коэффициента дифференциации доходов населения приведен в  задаче 1 расчетной части настоящей  курсовой работы.

     И коэффициент фондов, и децильный  коэффициент дифференциации доходов  опираются на информацию о распределении населения по доходам только в нижней и верхней группах.

     В отличие от рассмотренных показателей  неравенства существуют статистические меры, характеризующие неравенство  в целом и принадлежащие индексам класса Лоренца.

     Кривая  Лоренца показывает накопительное распределение дохода по отношению к проценту населения и демонстрирует распределение дохода, которым располагает определенный процент населения. При построении кривой Лоренца по горизонтальной оси откладываются единицы анализа (лица или домохозяйства) в соответствии с ростом дохода, по вертикальной оси — приходящаяся на них кумулятивная доля общего дохода. Отрезки прямых соединяющие точки, соответствующие накопленным частостям и нарастающим процентам дохода, образуют ломаную линию концентрации (кривую Лоренца).

     На  графике кривой Лоренца в случае равномерного распределения дохода попарные доли населения и доходов  должны совпадать и располагаться  на диагонали квадрата, что и означает полное отсутствие концентрации дохода. Чем ближе кривая Лоренца приближается к 45° линии, тем более равное распределение дохода. Чем больше эта линия отличается от диагонали (чем больше ее вогнутость), тем больше неравномерность распределения доходов, соответственно выше его концентрация.

     Кривая  Лоренца часто используется для сопоставления распределений доходов. На рис.1 показано распределение дохода домохозяйств для двух стран. Кривая Лоренца для страны А намного ближе к диагонали, что свидетельствует о более равномерном распределении доходов, чем для страны В.

Рис.1 Кривая Лоренца

     Показатели  неравенства, основанные на кривой Лоренца, используют данные о распределении  дохода, представленные кривой Лоренца для построения индекса неравенства доходов. Такие меры независимы от среднего — если все доходы изменяются на одинаковый постоянный процент, то относительное неравенство остается неизменным.

     Коэффициент Джини (индекс концентрации доходов) является наиболее широко распространенной мерой распределения доходов и наиболее близок к кривой Лоренца.

     Для кумулятивного ряда коэффициент Джини определяется с помощью следующей формулы [2]:

где   - доля населения, принадлежащая к i-й социальной группе в общей численности населения;

      - доля доходов, сосредоточенная у i-й социальной группы населения;

      - число социальных групп;

      - кумулятивная доля дохода.

     Коэффициент Джини измеряет область Лоренца, т.е. область между кривой и диагональю, как отношение всей области к нижнему треугольнику. Коэффициент Джини находится в интервале от 0 до 1, где 0 обозначает абсолютное равенство (все обладают одинаковым доходом), а 1 — абсолютное неравенство (весь доход сконцентрирован на одном индивидуальном лице/семье).

     Коэффициент Джини является относительной оценкой в том смысле, что он рассматривает различия относительно порядковой ранжировки индивидуальных лиц, а не отличие каждого дохода от среднего дохода.

     Несомненным преимуществом коэффициента Джини  является то, что он дает простой сводный показатель неравенства, который довольно легко интерпретировать как для составителей, так и для профессиональных пользователей статистики доходов. Чем выше коэффициент, тем больше неравенство.

     Однако  коэффициент Джини более чувствителен к изменениям, которые имеют место в окрестности средней распределения, и менее чувствителен к изменениям, которые происходят на обоих «хвостах» распределения.

     Следствием  «чувствительности» является то, что  одно распределение, которое включает одно наблюдение с чрезвычайно высоким доходом, может давать то же значение коэффициента Джини, что и другое распределение, которое имеет несколько наблюдений с очень низким доходом. По этой причине, оценки коэффициента Джини должны представляться в сочетании, например, с распределениями децилей или другими сводными показателями, которые более чувствительны к другим частям распределения. 

Статистика  бедности

     Неравенство в распределении доходов приводит к появлению бедного населения. Для выявления бедного населения  необходимо установить границу бедности. В России границей бедности является прожиточный минимум. Прожиточный минимум – это стоимостная оценка минимального набора продуктов питания, необходимого для сохранения здоровья человека и поддержания его жизнедеятельности, а также расходы на производственные товара и услуги, налоги и обязательные платежи, исходя из доли затрат на эти цели в бюджетах низкодоходных групп населении; используется как критерий бедности при характеристике процессов социально-экономической дифференциации.