Планирование и организация эксперимента

Необходимо получить математическую модель вида =f (T,q, x) для последующей оптимизации параметров процесса пластической обработки.

Экспериментальное исследование условий горячего прессования алюминиевого сплава 1915 позволило установить технологически разумные пределы, в которых могут изменяться факторы. Они представлены  в таблицах 4 и 5.

Для решения задачи моделирования  принято решение провести ПФЭ 2³.

Таблица 4 – Значение факторов на нижнем, основном и верхнем  уровнях

Уровни факторов	Факторы процесса
	X1	X2	X3
Нижний	3	25	0.20
Основной	8	30	0.40
Верхний	13	35	0.60

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5- Значение функции  отклика при проведении четырех параллельных опытов

Y1	Y2	Y3	Y4
0.12	0.12	0.14	0.12
0.06	0.07	0.06	0.08
0.20	0.18	0.19	0.20
0.18	0.16	0.16	0.17
0.13	0.12	0.15	0.16
0.11	0.12	0.11	0.10
0.24	0.23	0.22	0.21
0.20	0.21	0.19	0.18

Порядок выполнения задания 1:

1. Составим матрицу планирования для ПФЭ 2³ с использованием дополнительного нулевого фактора x₀ и рандомизировать опыты с помощью таблицы случайных чисел. Все результаты будут занесены в таблицу 6.
2. Проведем эксперимент во всех точках факторного пространства, повторим их четыре раза, получим значение функции отклика y_i1; y_i2; y_i3; y_i4. Рассчитаем для каждой i-й точки среднее значение выходной величины y_i построчную дисперсию S²y_i, используя следующие формулы 9, 10:

     ,                               (9)

  _{где n- количество опытов (n=4)}

                                (10)

3. _{Проверим однородность дисперсий по критерию Кохрена, при уровне значимости α=0.05. Критерий Кохрена выбираем потому, что число сравниваемых дисперсий больше двух.}

    ,                                          (11)

_{где N- количество точек факторного пространства}

_Gэкс=0.30

_{f1=n-1=4-1=3 и f2=N=8, отсюда следует, что Gтабл=0.438}

_{Gтабл>Gэкс , дисперсии однородны.}

4. _{Определим коэффициенты уравнения регрессии по формуле 12:}

   ,                          (12)

_{где j- номер коэффициента}

5. _{Проверим гипотезу о статистической значимости (отличной от нуля) коэффициентов регрессии с помощью критерия Стьюдента. Для этого произведем расчет, используя следующие формулы 13; 14; 15:}

,                                       (13)

  ,                                     (14)

,                              (15)

_{Sb=0.0016 и S²y=0,013}

6. _{Составим уравнение регрессии в кодированном виде, используя найденные коэффициенты.}

_{Сначала составим линейную математическую модель:}

_{y=b0+b1x1+b2x2+b3x3;}

_{y=0.153-0.018x1+0.042x2+0.015x3.}

_{Проверим  адекватность данной линейной мм, дисперсия  адекватности определяется по формуле 16:}

,                       (16)

_{где L- число значимых коэффициентов, без учета b0}

7. _{Адекватность  ММ проверяем  по F-критерию Фишера:}

,                                           (17)

  

_{Определяем  Fт по таблице, в зависимости от чисел степеней свободы, согласно тому, что f1=n(N-1)=4(8-1)=28}

_{и f2=N(n-1)=8(4-1)=24, получаем FТ=1.7}

_{Fр>FТ , гипотеза об адекватности отклоняется.}

8. _{Составим новую ММ с добавлением следующего наибольшего коэффициента b:}

_{y=0.153-0.018x1+0.042x2+0.015x3+0.004x1 x2.}

_{Проверим  адекватность данной ММ:}

_{Fр>FТ , гипотеза об адекватности отклоняется.}

9. _{Составим новую ММ с добавлением следующего наибольшего коэффициента b:}

_{y=0.153-0.018x1+0.042x2+0.015x3+0.004x1 x2+0.0028x1x3.}

_{Проверим  адекватность данной ММ:}

  _{Fр < FТ , гипотеза об адекватности принимается.}

10. _{Переходим к исходным физическим переменным:}

 _{;  ;}

_{Записываем  уравнение:}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_{Таблица 6 – Сводная таблица  для расчета задания 1}

Номер точки факторного пространства	Номер опыта					X0	X1	X2	X3	X1X2	X1X3	X2X3	X1X2X3	Yi1	Yi2	Yi3		Yi4	Yi			S2yi
	С1	С2	С3		С4
1	1	6	8		4	+	-	-	-	+	+	+	-	0.12	0.12	0.14		0.12	0.125			0.00010
2	4	1	5		6	+	+	-	-	-	-	+	+	0.06	0.07	0.06		0.08	0.068			0.00009
3	2	4	4		5	+	-	+	-	-	+	-	+	0.20	0.18	0.19		0.20	0.193			0.000092
4	3	5	6		7	+	+	+	-	+	-	-	-	0.18	0.16	0.16		0.17	0.168			0.00009
5	5	2	3		1	+	-	-	+	+	-	-	+	0.13	0.12	0.15		0.16	0.140			0.00033
6	6	8	7		2	+	+	-	+	-	+	-	-	0.11	0.12	0.11		0.10	0.110			0.000067
7	8	7	1		8	+	-	+	+	-	-	+	-	0.24	0.23	0.22		0.21	0.225			0.00017
8	7	3	2		3	+	+	+	+	+	+	+	+	0.20	0.21	0.19		0.18	0.195			0.00017
						1.224	-0.144	0.336	0.12	0.032	0.0224	0.0024	-0.032	Критерий  Кохрена Gэкс=0.3 Gтабл=0.44    (f1=3; f2=8; α=0.05 ) Вывод: дисперсии однородны
Критерий  Стьюдента α=0.05 f=24 tкр=2.06				bj		0.153	-0.018	0.042	0.015	0.004	0.0028	0.0003	-0.004
				tj		95.63	11.25	26.25	9.38	2.5	1.75	0.19	2.5	Критерий  Фишера  α=0.05; f1=28; f2=24
				Вывод		З н	З н	З н	З н	З н	Н з	Н з	З н	Fp			FТ			Вывод
Линейная  ММ y=0.153-0.018x1+0.042x2+0.015x3														3.07			1.7			ММ  не адекватна
Не  линейная ММ y=0.153-0.018x1+0.042x2+0.015x3+0.004x1x2														1.86			1.7			ММ  не адекватна
Не  линейная ММ y=0.153-0.018x1+0.042x2+0.015x3+ +0.004x1x2+0.0028x1x3														1.26			1.7				ММ адекватна
ММ в натуральном масштабе y=0.0278-0.0196T+0.00712Q-0.149E+0.00016TQ+0.028TE

 

4.2 Задание  2 – Расчет коэффициентов

 

В соответствии со своим вариантом составить план эксперимента для построения линейной математической модели. Построить систему оценок коэффициентов регрессии.

Таблица 7 – Сводная  таблица для расчета задания 2

№ варианта	ДФЭ	Определяющий контраст
11	27-3	1= Х1Х2Х4X5=Х1Х2Х3X6=Х1Х3Х4X7

Первая серия опытов:

1= Х₁Х₂Х₄X₅=Х₁Х₂Х₃X₆=Х₁Х₃Х₄X₇;

X₁= Х₂Х₄X₅=Х₂Х₃X₆= X₃Х₄Х₇

_{b1=b 1+b 245+b 236+b 347;}

X₂= Х₁Х₄Х₅=Х₁Х₃X₆=Х₁Х₂X₃X₄X₇

_{b2=b 2+b 145+b 136+b 12347;}

X₃= Х₁Х₂X₃X₄X₅=Х₁Х₂Х₆= Х₁Х₄X₇

_{b3=b 3+b 12345+b 126+b 147;}

X₄= Х₁Х₂X₅=Х₁Х₂Х₃Х₄X₆= Х₁Х₃Х₇

_{b4=b 4+b 125+b 12346+b 137;}

X₅= Х₁Х₂Х₄=Х₁Х₂X₃X₅X₆= Х₁Х₃Х₄Х₅X₇

_{b5=b 5+b 124+b 12356+b 13457;}

X₆= Х₁Х₂Х₄Х₅X₆=Х₁Х₂Х₃=Х₁Х₃X₄X₆X₇

_{b6=b 6+b 12456+b 123+b 13467;}

X₇= Х₁Х₂Х₄Х₅X₇=Х₁Х₂Х₃X₆X₇=Х₁Х₃X₄

  _{b7=b 7+b 12457+b 12367+b 134;}

X₁X₂= Х₄Х₅=Х₃X₆=Х₂Х₃X₄X₇

_{b1b2=b 12+b 45+b 36+b 2347;}

X₁X₃= Х₂Х₃X₄X₅=Х₂X₆=X₄X₇

_{b1b3=b 13+b 2345+b 26+b 47;}

X₁X₄= Х₂X₅=Х₂X₃X₄X₆=X₃X₇

_{b1b4=b 14+b 25+b 2346+b 37;}

X₂X₃= Х₁X₃X₄X₅=Х₁X₆=X₁X₂X₄X₇

_{b2b3=b 23+b 1345+b 16+b 1247;}

X₂X₄= Х₁X₅=Х₁X₃X₄X₆=X₁X₂X₃X₇