Планирование и организация эксперимента

Исходные данные

 

Задание 1

 

Необходимо получить математическую модель вида =f (T,q, x) для последующей оптимизации параметров процесса пластической обработки.

Сопротивление деформации алюминиевого сплава 1915 в наибольшей степени зависит от времени протекании процесса , температуры и скорости деформации .

 

Задание 2

 

В соответствии со своим вариантом составить план эксперимента для построения линейной математической модели. Построить систему оценок коэффициентов регрессии.

 

Задание 3

 

По информации, полученной при  проведении полного факторного эксперимента (ПФЭ) в задании 1 выяснилось, что одно из парных взаимодействий и тройное оказались статистически незначимыми. Требуется проведение дробного факторного эксперимента (ДФЭ) с учетом дополнительных факторов: скорости нагрева , ( ) и изотермической выдержки , мин ( ).

 

 

 

 

 

Введение

 

Планирование и организация  эксперимента имеет большое научное  и практическое значение, позволяя оптимизировать любой эксперимент  с наименьшими затратами, что  очень важно в организации как научного, так и практического эксперимента. Зная методы и принципы планирования эксперимента, специалист может использовать их при постановке и  решении многообразных задач.

Методы планирования эксперимента широко используются в  различных областях науки и техники, предлагается использование этих методов в физических объектах, таких как ядерная физика, лазерная техника, ядерные реакторы и т.д.

Большой и важный класс  методов идентификации составляют так называемые методы планирования эксперимента (МПЭ). Широкое распространение получили методы статического планирования эксперимента, предполагающие использование готовых планов эксперимента. Основой построения моделей для этих методов является аппарат регрессионного анализа.

Цель курсовой работы заключается в приобретении навыков постановки эксперимента, определения исследуемых факторов и области планирования эксперимента, составления матриц планирования полного и дробного факторного эксперимента, расчета коэффициентов регрессии. При выполнении курсовой  работы необходимо научиться работать с математическими моделями, использовать статистические критерии для оценки однородности, нормальности экспериментальных данных, значимости коэффициентов и адекватности полученной математической модели.

Выполнение курсовой работы будет способствовать закреплению знаний в области применения методов планирования эксперимента для исследования конструкций, систем, технологических процессов и их оптимизации.

 

1 Планирование эксперимента

 

1.1 Основные  понятия и определения в теории эксперимента

 

Эксперимент (от лат. experimentum — проба, опыт), метод познания, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления действительности. Эксперимент может быть - физическим, психологическим, модельным. Эксперимент проводится на объекте или на его модели. Модель отличается от объекта масштабом, иногда природой. Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на объекте может быть заменен экспериментом на модели.

Планирование  эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведенных опытов необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих число условия и порядок проведения опытов. Под словом опыт имеется в виду отдельная элементарная часть эксперимента.[1]

 

1.2 Цели планирования эксперимента

 

К целям планирования эксперимента относят:

- стремление к минимизации числа опыта;

- одновременное варьирование  всеми переменами, определяющий  процесс по специальным правилам алгоритма;

- использование математического  аппарата;

- выбор четкой стратегии  позволяющей принимать обоснованное  решение после каждой серии эксперимента.

 

 

1.3 Задачи планирования эксперимента

 

Существует несколько  задач планирования эксперимента:

- поиск оптимальных  условий;

- построение интрапракцинных  форм;

- выбор существующих  факторов;

- оценка и уточнение  констант теоретических моделей;

- выбор наиболее приемлемых  из некоторого множества гипотез  о механизме явлении;

- исследование диаграмм состав свойства.

Задачи, в которых четко  сформулированы условия эксперимента для достижения оптимума - называется задачами оптимизации. Процесс их решения - называется оптимизация.

Две основные задачи:

- интерполяционная;

- экстремальная.

Задача  является экстремальной, если цель ее состоит в поиске экстремума некоторой функции. Надежность прибора зависит, от ряда технологических факторов, требующих так подобрать значение этих факторов, чтобы надежность прибора повысилась.

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение черного ящика. Все способы такого воздействия обозначается буквой (x) - называется факторами, их также называют входами черного ящика.

Стрелки справа изображают численные характеристики, цели исследования обозначаются буквой (y) – называют параметрами оптимизации (критерии оптимизации, целевая функция, выход черного ящика).[1]

Рисунок 1 - Схема общая  черного ящика

Под математической моделью  понимают уравнение связывающее  параметр оптимизации с факторами. Это уравнение имеет вид:

y= φ (x_1,x_2,x_3…,x_n) , (1)

где φ - замена слова «функция от» - такая функция называется функция  отклика.

Вектор, образуемый выходящими параметрами – характеристиками свойств и качества объекта называется откликом, а зависящий отклик от рассматривающих факторов – функции отклика.

Геометрическая представленная функция отклика в факторном  пространстве - называется поверхность у отклика. Функция отклика- называется также целевой, имея ввиду, что при планирования эксперимента с целью нахождения оптимальных условий она является критерием оптимальности. Каждый фактор, может принимать в опыте 1 из нескольких значений, такие значения будем называть уровнями.

Фиксированный набор  уровней факторов (то есть установление каждого фактора на некоторый уровень). Определяющий, 1 из возможных состояний «темного ящика». Одновременно это и есть условие проведенного одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояния, то мы  получим множество различных состояний данного ящика. Одновременно это будет число возможных различных опытов.

Для расчета различных  состояний достаточно число уровней  факторов, если оно для всех факторов одинаково возвести в степень  числа фактора p^k, где p- число уровней, а k- число факторов.

1.4  Этапы проведения планирования эксперимента

 

Первый этап: постановка задачи - (определение цели эксперимента, выяснение исходной ситуации, оценка допустимых затрат, времени и средств).

Второй этап: сбор априорной информации (полученной литературы, опрос специалистов).

Третий этап: выбор способа решения и стратегии его реализации (установленные типы модели, выявление возможных влияющих факторов, выявление выходных параметров, созданным необходимо не стандартом, техническими средствами). Выбор или разработка алгоритмов, программ обработки экспериментальных данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Полный факторный эксперимент

 

2.1 Принятие решений перед планированием эксперимента

 

При выборе области эксперимента необходимо оценить границы областей определение факторов, при этом должны учитывать ограничение нескольких типов:

- принципиальные ограничения  для значений факторов, которые  не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах, например: если фактор – температура, то нижним пределом будет абсолютной 0.

- ограничение связаны с техникой экономическими соображениями (например со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, времени, ведения процесса).

- определяют конкретные  условия проведенного процесса: существуют аппаратуры, технологией, организацией.

- наиболее часто встречаются в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. Информация содержания в результатах предыдущего исследования будем назвать априорной. Априорную информацию используют для получения предоставления о параметре оптимизации, о факторах, о наилучших условиях введения процесса и характере поверхности отклика, то есть о том как небольшое изменение значений, факторов, а также о кривизне поверхности.

 

2.2 Выбор интервала варьирования

 

Для каждого фактора  необходимо выбрать 2 уровня, на котором он будет варьироваться на эксперименте. Интервал варьирования факторов - называется некоторое число свое для каждого фактора прибавленного, который к основному уровню дает верхний. А вычитывает нижний уровень фактора. Другими словами интервал варьирования это расстояние на координатной оси между основным и верхним, или нижнем уровне.

Для упрощения записи эксперимента и обработки экспериментальных  данных масштабы по осям выбираются там, чтобы верхний уровень соответствовал + 1, нижний -1, а основной 0. Для каждого фактора непрерывная область определения всегда можно сделать с помощью преобразования.

, (2)

где x_Ј - кодирование фактора;

- натуральное значение фактора;

– натурально значение основного уровня;

I_Ј – интервал варьирования;

j – номер фактора.

 

2.3 Полный факторный эксперимент типа 2^k

 

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основного варьирования факторов на двух уровней.

В этом случае , если число факторов известно можно сразу найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных уровней факторов.

                                          N=2^k ,                                   (3)

где N –число опытов;

 k – число факторов;

2- число уровня.

Эксперимент, в котором  реализация все возможные сочетания  уровни фактор называются полным факторным экспериментом.[2]

Если число уровней каждого фактора равно 2, то имеем полный факторный эксперимент 2^k.

 

2.4 Свойства  полного факторного эксперимента типа 2^k

 

Говоря о свойствах  матриц, мы имеем в виду те из них, которые определяют качество модели. Ведь эксперимент и планируется для того, чтобы получить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойствами. Это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, ибо заранее неясно, куда предстоит двигаться в поисках оптимума.

Два свойства следуют непосредственно  из построения матрицы. Первое из них – симметричность относительно центра эксперимента – формулируется следующим, образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или

, (4)

где j – номер фактора;

      i – номер опыта;

     N – число опытов.

Второе свойство –  так называемое условие нормировки – формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого  столбца равна числу опытов, или 

                              (5)

 

Это следствие того, что  значения факторов в матрице задаются +1 и –1.

Мы рассмотрели свойства отдельных столбцов матрицы планирования. Теперь остановимся на свойстве совокупности столбцов.

Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы  равна нулю, или 

, (6)

где j ¹  n.

Это важное свойство называется ортогональностью матрицы планирования.

Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. [2]

Даны две матрицы планирования:

x₁            x₂                                     x₁            x₂

а) –              –                       б)              –              +

+              –                                     +              –

–              +                                     –              +

+              +                                     +              –

Проверим, как выполняются все три свойства для каждой из матриц. Первое свойство выполняется для всех столбцов обеих матриц. Действительно, для первого столбца матрицы а) имеем