Непосредственное  применение теоремы невозможно, так  как ограниченный во времени (финитный) входной сигнал имеет бесконечно протяженный спектр. Поэтому за наивысшую, , принимают частоту , которая была определена в 2.1.

    

    При определении интервала дискретизации необходимо в соотношении

    

    подобрать коэффициент таким образом, чтобы на длительность входного сигнала приходилось не менее 20–25 отсчетов. Выберем количество отчетов равное 25, тогда коэффициент вычисляется следующим образом:

    

    Осуществив  дискретизацию сигнала  , построим график последовательности отсчетов входного сигнала x(kT) - рис. 3.1.

    Также построим график амплитудного спектра дискретизированного сигнала , используя соотношение:

     ,

    указывающее, что спектр дискретизированного  сигнала  является периодическим повторением спектра непрерывного сигнала для АЧХ дискретного фильтра. График амплитудного спектра представлен на рис. 3.2. 

 

4. Определение параметров АЧХ аналогового фильтра-прототипа.

    Максимально плоская АЧХ аналогового ФНЧ  описывается выражением

    

          где  — частота среза аналогового фильтра, на которой АЧХ падает до уровня 0,707 от своего максимального значения; n = 1, 2, 3, … — порядок фильтра; индекс «А» при обозначении текущего значения частоты подчеркивает, что речь идет об аналоговом фильтре.

    4.1. Определение частоты  среза аналогового  фильтра

    Связь между частотами аналогового  и дискретного фильтров устанавливается  из соотношения:

     ,

    где - частота аналогового фильтра, - частота дискретного фильтра.

    Частота среза дискретного фильтра определяется как (значение определено в п. 2.1).

     .

    Откуда  находим частоту среза аналогового фильтра.

    

    4.2. Определение порядка аналогового фильтра-прототипа

    Порядок аналогового фильтра определяется из условия обеспечения необходимого затухания a его АЧХ на удвоенной частоте среза  . Это условие записывается таким образом:

    

          и позволяет определить минимально возможный порядок фильтра n.

    По  заданию затухание  . Рассчитанные значения выражения, стоящего в левой части (5.1) для нескольких значений n и представлены в таблице 4.1. 
 

Таблица 4.1.

 

    Из  таблицы 4.1. видно, что порядок требуемого аналогового фильтра равен  . Графики АЧХ фильтра Баттерворта для разных порядков приведены на рис. 4.1. 

 

5. Определение системной функции. Анализ устойчивости и реализация дискретного фильтра

    При синтезе дискретного фильтра  методом билинейного z-преобразования его системную функцию определяют исходя из коэффициента передачи аналогового фильтра-прототипа , записанного в операторной форме.

    5.1. Запись аналитического  выражения для  функции передачи

    В пункте 4.2. было определено, что порядок требуемого аналогового фильтра . Зная это находим функцию передачи фильтра Баттерворта нижних частот порядка n.

     ,

    где .

    5.2. Вывод аналитического выражения для системной функции

    Найдем  системную функцию соответствующего дискретного фильтра:

    

    

    

    

    

    5.3. Анализ устойчивости  ДФ с найденной

    Установим, соответствует ли выражение для устойчивому дискретному фильтру. Для этого найдем полюсы системной функции :

    

    

    Так как все 4 полюсов системной функции H(z) лежат внутри окружности единичного радиуса на плоскости комплексной переменной, то рассматриваемый дискретный фильтр  устойчив. Расположение полюсов на плоскости комплексной переменной показано на рис 5.1.

    5.4. Синтез структурной  схемы ДФ

    С целью перехода к разностному  уравнению функция  приводится к следующему виду:

    

    Запись  системной функции в таком  виде дает возможность осуществить  проверку правильности преобразований при переходе от к . Для фильтров Баттерворта произвольного справедливо равенство:

    

    Подставляя  значения получаем:

    

    Таким образом, полученное уравнение для системной функции в конечном виде является достоверным.

    Следуя  методике построения структурных схем ДФ, реализуем полученную системную функцию в прямой, канонической, параллельной и последовательной формах.

    5.4.1. Основная форма

    Для построения прямой схемы реализации дискретного фильтра представим алгоритм дискретной фильтрации в следующем виде:

    

    Приведенная форма записи алгоритма дискретной фильтрации позволяет изобразить нам структурную схему ДФ в прямой (основной) форме. Эта схема представлена на рис. 5.2.

    5.4.2. Каноническая форма

    С целью минимизации числа элементов  задержки изобразим ДФ в канонической форме. Для этого представим уравнение  системной функции в следующем  виде:

     ,

    где и числитель и знаменатель соответственно.

    

    

    Независимо  синтезируем структурные схемы  для системных функций  и в прямой форме и, затем, соединим их каскадно. При этом используются разностные уравнения, которые для указанных функций будут иметь вид:

    

    

    Соответствующие структурные схемы изображены на рис. 5.3. соответствует нерекурсивному дискретному фильтру, отсчетные значения сигнала на выходе которого формируются только на основе значений входного сигнала. Если же используются и предыдущие выходные отсчеты, как в схеме для , то фильтр называется рекурсивным; 

 

    Сократив  лишние элементы задержки, возникающие  при каскадном соединении предыдущих схем, получим каноническую схему ДФ. Схема представлена на рис. 5.4. 

 

    Сопоставляя схемы на рис. 5.2.и на рис. 5.4. видно, что количество элементов задержки сократилось, при реализации схемы  ДФ в канонической форме.

    5.4.3. Последовательная форма реализации ДФ

    Реализуем последовательную форму. Для этого  не обходимо записать системную функцию в  следующем виде:

    

    Выполнив  ряд преобразований, получим следующее  уравнение:

    

    Схема последовательной формы реализации ДФ представлена на рис. 5.5. 

    5.4.4. Параллельная форма реализации ДФ

    Реализуем параллельную форму. Для этого не обходимо записать системную функцию в следующем виде:

    

    Выполнив  ряд преобразований, получим следующее  уравнение:

    

Схема параллельной формы реализации ДФ представлена на рис. 5.6. 

 

6. Анализ  АЧХ дискретного  фильтра

    Определим АЧХ фильтра из известной нам  системной функции по формуле:

    

    С целью оценки искажений АЧХ дискретного  фильтра рассчитаем АЧХ аналогового фильтра Баттерворта, имеющего ту же частоту среза . Характеристика для аналогового фильтра рассчитывается следующим образом:

    

    Графики АЧХ обои фильтров приведены на рис. 6.1. 

 

    Из графика видно, что коэффициент передачи на частоте среза одинаковый для обеих зависимостей. Из чего можно сделать заключение, что расчет системной функции оказался правильным. 

 

7. Расчёт импульсной характеристики

    Чтобы установить вид сигнала на выходе ДФ, необходимо знать его импульсную характеристику . Она связана с системной функцией дискретного фильтра z-преобразованием. Представим нашу системную функцию фильтра в виде суммы простейших дробей, предварительно выделив целую часть. При этом степень числителя должна быть меньше степени знаменателя системной функции:

    

    

    Разложим полученную дробь на простейшие:

    

    

    Первому слагаемому соответствует слагаемое  импульсной характеристики

     ,

    где – единичный дискретный сигнал. Остальные слагаемые представляют собой суммы бесконечных геометрических прогрессий:

     ,

     ,

     ,

     .