Методы математической статистики в психологии

     Обычно изучаются корреляции между множеством Р переменных. В таком случае вычисляются корреляции между всеми возможными парами этих переменных. Результатом является корреляционная матрица, включающая Р(Р— 1):2 значений коэффициентов парной корреляции. Под корреляционным анализом обычно и понимают изучение связей по корреляционной матрице.

     Методы анализа номинативных данных.

     В зависимости от цели исследования и структуры исходных данных выделяются три группы методов, соответствующих решаемым задачам:

1. анализ классификаций;
2. анализ таблиц сопряженности;
3. анализ последовательностей.

 

2. Методы  сравнения выборок  по уровню выраженности признака.

     В зависимости от решаемых задач методы внутри этой группы классифицируются по трем основаниям:

1. Количество градаций X:

• сравниваются 2 выборки;
• сравниваются больше 2 выборок.

2. Зависимость выборок:

• сравниваемые выборки независимы;
• сравниваемые выборки зависимы.

3. Шкала Y:

• Y— ранговая переменная;
• К— метрическая переменная.

     По последнему основанию методы делятся на две большие группы: параметрические методы — для метрических переменных и непараметрические методы — для порядковых переменных. Параметрические методы проверяют гипотезы относительно параметров распределения (средних значений и дисперсий) и основаны на предположении о нормальном распределении в генеральной совокупности. Непараметрические методы не зависят от предположений о характере распределения и не касаются параметров этого распределения.

Сравнение двух выборок

     Проверяемая: две совокупности (которым соответствуют выборки) не отличаются по уровню выраженности измеренного признака.

Сравнение двух независимых выборок

     Условия применения: признак измерен у объектов (испытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух независимых выборок.

Пример: Исследование различий между юношами и девушками по тревожности, измеренной в количественной шкале.

Методы:

     Y— метрическая переменная: сравнение двух средних значений (параметрический критерий Стьюдента для независимых выборок).

     Условия применения: признак измерен в (а) метрической шкале, (б) дисперсии двух выборок достоверно не различаются. Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то применяется непараметрический критерий Манна-Уитни.

     Дополнительно: возможно сравнение двух дисперсий (параметрический критерий Фишера).

     Y— ранговая (порядковая) переменная: сравнение двух независимых выборок по уровню выраженности порядковой или бинарной переменной (критерий Манна-Уитни, критерий серий).

Сравнение двух зависимых выборок

     Условия применения:

а) признак  измерен у испытуемых, каждый из которых принадлежит к одной из двух зависимых выборок: либо признак измерен дважды на одной и той же выборке, либо каждому испытуемому из одной выборки поставлен в соответствие по определенному критерию испытуемый из другой выборки;

б) измерения  положительно коррелируют. Если эти  условия не выполняются, то выборки  следует признать независимыми.

Примеры: 

1. Изучался  эффект социально-психологического  тренинга. Каждому ученику класса  с определённой численностью задавался вопрос: «Как часто твое мнение совпадает с мнением твоих одноклассников», отвечать на который предлагалось при помощи 10-балльной шкалы. Ученики отвечали на вопрос дважды: до и после тренинга.

2. Изучалось  различие в самооценке единства  мнений в супружеских парах  между мужьями и их женами. Для этого на вопрос «Как часто Ваше мнение совпадает с мнением супруги (супруга)» при помощи 10-балльной шкалы отвечали мужья каждой пары и их жены.

Методы:

Y—  метрическая переменная: сравнение двух средних значений (параметрический критерий Стьюдента для зависимых выборок).

Условие применения: признак измерен в  метрической шкале. Если это условие  не выполняется, то применяется непараметрический  критерий 7’-Вилкоксона.

Y—  ранговая (порядковая) переменная: сравнение двух зависимых выборок по уровню выраженности порядковой или бинарной переменной (критерий Г-Вилкоксона, критерий знаков).

Сравнение более двух выборок

     Проверяемая: несколько совокупностей (которым соответствуют выборки) не отличаются по уровню выраженности измеренного признака.

    Сравнение более двух независимых выборок

     Условия применения: признак измерен у испытуемых, каждый из которых принадлежит к одной из к независимых выборок (к > 2).

Пример: исследовалось влияние на продуктивность воспроизведения вербального материала: а) интервала между повторениями и б) объема материала.

     Условия применения: признак У измерен в (а) метрической шкале, (б) дисперсии выборок статистически не различаются. Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то:

     Y— ранговая (порядковая) переменная: сравнение более двух независимых выборок по уровню выраженности ранговой переменной (непараметрический критерий Я-Краскала-Уоллеса).

     Ограничение: метод позволяет сравнивать выборки только по одному основанию, когда деление на группы производится по одной номинативной переменной, имеющей более 2-х градаций.

Сравнение более двух зависимых выборок

     Условия применения:

а) признак  измерен у испытуемых, каждый из которых принадлежит к одной из к-зависимых выборок: как правило, признак измерен несколько раз на одной и той же выборке;

б) измерения положительно коррелируют.

     Дополнение: метод допускает сравнение выборок более чем по одному основанию — когда помимо деления на зависимые выборки, вводятся номинативные переменные, которые имеют 2 и более градаций и делят испытуемых на независимые выборки. 

5. Классификация  многомерных методов.

Классификация методов по назначению:

1. Методы предсказания (экстраполяции): множественный регрессионный и дискриминантный анализ. Множественный регрессионный анализ предсказывает значения метрической «зависимой» переменной по множеству известных значений «независимых» переменных, измеренных у множества испытуемых. Дискриминантный анализ предсказывает принадлежность испытуемых к одному из известных классов (номинативной шкале) по измеренным метрическим (дискриминантным) переменным.
2. Методы классификации: варианты кластерного анализа и дискриминантный анализ. Кластерный анализ («классификация без обучения») по измеренным характеристикам у множества испытуемых, либо по данным об их попарном сходстве (различии разбивает это множество объектов на группы, в каждой из которых содержатся объекты, более похожие друг на друга, чем на объекты из других групп. Дискриминантный анализ («классификация с обучением») позволяет классифицировать объекты по известным классам, исходя из измеренных у них признаков, пользуясь решающими правилами, выработанными предварительно на выборке идентичных объектов, у которых были измерены те же признаки.
3. Структурные методы, факторный анализ и многомерное шкалирование. Факторный анализ направлен на выявление структуры переменных как совокупности факторов, каждый из которых — это скрытая, обобщающая причина взаимосвязи группы переменных. Многомерное шкалирование выявляет шкалы как критерии, по которым поляризуются объекты при их субъективном попарном сравнении.
4. Классификация методов по исходным предположениям о структуре данных:
5. Методы, исходящие из предположения о согласованной изменчивости признаков, измеренных у множества объектов: факторный анализ, множественный регрессионный анализ, отчасти — дискриминантный анализ.
6. Методы, исходящие из предположения о том, что различия между объектами можно описать как расстояние между ними. На дистантной модели основаны кластерный анализ и многомерное шкалирование, частично — дискриминантный анализ. Многомерное шкалирование и дискриминантный анализ добавляют предположение о том, что исходные различия между объектами можно представить как расстояния между ними в пространстве небольшого числа шкал (функций).

 
 

Классификация методов по виду исходных данных:

1. Методы, использующие в качестве исходных данных только признаки, измеренные у группы объектов. Это множественный регрессионный, дискриминантный и факторный анализы.
2. Методы, исходными данными для которых могут быть попарные сходства (различия) между объектами: это кластерный анализ и многомерное шкалирование.

     Представленные классификации свидетельствуют о необходимости знаний многомерных методов, их возможностей и ограничений уже на стадии общего замысла исследования. Например, ориентируясь только на факторно-аналитическую модель, исследователь ограничен в выборе процедуры диагностики: она должна состоять в измерении признаков у множества объектов. При этом исследователь ограничен и в направлении поиска: он изучает либо взаимосвязи между признаками, либо межгрупповые различия по измеряемым признакам. Общая осведомленность о других многомерных методах позволит исследователю использовать более широкий круг психодиагностических процедур, решать более широкий спектр не только научных, но и практических задач.

5.1 Множественный регрессионный  анализ

     Множественный регрессионный анализ (МРА) предназначен для изучения взаимосвязи одной переменной (зависимой, результирующей) и нескольких других переменных (независимых, исходных).

     МРА может применяться как для решения прикладных задач, так и в исследовательских целях. Обычно МРА применяется для изучения возможности предсказания некоторого результата (обучения, деятельности) по ряду предварительно измеренных характеристик.

5.2 Факторный анализ

     Главная цель факторного анализа — уменьшение размерности исходных данных с целью их экономного описания при условии минимальных потерь исходной информации. Результатом факторного анализа является переход от множества исходных переменных к существенно меньшему числу новых переменных — факторов. Фактор при этом интерпретируется как причина совместной изменчивости нескольких исходных переменных.

     Если исходить из предположения о том, что корреляции могут быть объяснены влиянием скрытых причин — факторов, то основное назначение факторного анализа — анализ корреляций множества признаков.

     НО целесообразнее вместо факторного анализа использовать кластерный анализ корреляций. Помимо простоты, кластерный анализ обладает еще одним преимуществом: его применение не связано с потерей исходной информации о связях между переменными, что неизбежно при факторном анализе.

   Особенность факторного анализа заключается в неопределенности решения его основных проблем. Нет четких критериев качества их решения, есть лишь рекомендации, которыми руководствуется исследователь в своем стремлении содержательно интерпретировать получаемые результаты. Поэтому факторный анализ — это пошаговая процедура, где на каждом шаге исследователь принимает решение о дальнейших преобразованиях данных. Главным же ориентиром на этом пути остается возможность получения содержательной интерпретации конечных результатов.

Весь  процесс факторного анализа можно  представить как выполнение шести  этапов:

1. Выбор исходных данных.
2. Предварительное решение проблемы числа факторов.
3. Факторизация матрицы интеркорреляций.
4. Вращение факторов и их предварительная интерпретация.
5. Принятие решения о качестве факторной структуры.
6. Вычисление факторных коэффициентов и оценок.

     Исследователь, в зависимости от своих целей, решает, сколько раз повторить эту последовательность, какие из этапов будут пропущены и насколько глубоко будет проработан каждый из них. Например, если исследователя интересует только структура взаимосвязей признаков, то достаточно выполнить эту последовательность один раз, без последнего этапа.

5.3 Дискриминантный  анализ

    Дискриминантный анализ представляет собой альтернативу множественного регрессионного анализа для случая, когда зависимая переменная представляет собой не количественную (номинативную) переменную. При этом дискриминантный анализ решает, по сути, те же задачи, что и множественный регрессионный анализ (МРА): предсказание значений «зависимой» переменной, в данном случае — категорий номинативного признака; определение того, какие «независимые» переменные лучше всего подходят для такого предсказания. Структуры исходных данных для дискриминантного и множественного регрессионного анализа практически идентичны.

Основные  результаты дискриминантного анализа: