Методы математической статистики в психологии

Институт  Психологии 
 

Реферат

По  предмету «Общая психология»

На  тему: «Методы математической статистики в психологии» 

 

СОДЕРЖАНИЕ: 

1.Введение 
2. Основные понятия математической статистики.

     2.1 Шкалы, выборка и генеральная  совокупность.

     2.2 Понятия мода, медиана, среднее  арифметическое, дисперсия.

3. Корреляция и регрессия

     3.1 Понятие корреляции

     3.2 Понятие регрессии

4. Методы  статистического вывода

     4.1 Методы корреляционного анализа

     4.2 Методы анализа номинативных данных

     4.3 Методы сравнения выборок по  уровню выраженности признака

5. Классификация  многомерных методов

     5.1 Множественный регрессионный  анализ

     5.2 Факторный анализ

     5.3 Дискриминантный анализ

     5.4 Кластерный анализ

6. Заключение 
 
 
 
 
 
 
 

Введение. 
     Применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не 
сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стоит никакого 
реального содержания. 
     Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают 
возможность раскрыть качественные характеристики изучаемых явлений. 
Эти характеристики будут полнее и глубже, если накопленный 
материал подвергнуть количественной обработке. Однако, 
проблема количественных измерений в рамках психолого-педагогических 
исследований очень сложна. Эта сложность заключается, прежде всего, в 
субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее 
результатов, в самом объекте измерения, находящимся в состоянии 
непрерывного движения и изменения. Вместе с тем введение в 
исследование количественных показателей сегодня является необходимым и 
обязательным компонентом получения объективных данных о результатах 
педагогического труда. Как правило, эти данные могут быть получены как 
путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих 
педагогического процесса, так и посредством количественной оценки 
соответствующих параметров адекватно построенной его математической 
модели. С этой целью при исследовании проблем психологии и педагогики 
применяются методы математической статистики. С их помощью решаются 
различные задачи: обработка фактического материала, получение новых, 
дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и 
другие.  

2 . Основные понятия  математической статистики 

     2.1 Шкалы, выборка и генеральная совокупность

     Значение психологического признака определяется при помощи измерительных шкал. Всего выделяют 4 типа шкал это:

1. номинативная (присваивание какому-либо свойству определённого символа; например: двоичные варианты ответов испытуемых «Да» или «Нет», «За» или «Против»);
2. порядковая (совокупность измеренных признаков по принципу «больше-меньше» , «сильнее-слабее»; например школьные оценки от 1 до 5);
3. интервальная (для измерения с помощью этой шкалы устанавливаются специальные единицы измерения – стены. Нуль условен; например: измерение температуры по шкале Цельсия, где нуль – точка замерзания воды, но не отсутствия тепла вообще; тест IQ Векслера);
4. шкала отношений (обладает всеми свойствами интервальной шкалы, но имеет твёрдо фиксированный ноль, который означает полное отсутствие свойства. Используется в химии, физике, психофизике. Примеры: рост, вес, число реакций и пр.)

     Так же важную роль в психологии играет такое понятие, как выборка. Любая подгруппа испытуемых, выделенная из большинства, для проведения эксперимента, называется выборкой. Любая же совокупность людей, изучаемых психологом по выборке, называют генеральной совокупностью. А исследование, при котором психолог производит выбор ограниченного числа испытуемых из генеральной совокупности, называют выборочным исследованием.

          К выборке применяются 2 требования это:

1. однородность, т.е. формирование группы испытуемых осуществляется на определённых основаниях, таких как возраст. Уровень интеллекта, национальность и пр.;
2. репрезентативность – качество выборки, позволяющее распространять полученные на ней выводы на всю генеральную совокупность. 

     Рекомендуемым объемом для выборки является количество испытуемых не менее 30-35 человек в изучаемой группе.

      2.2 Понятия мода, медиана, среднее арифметическое, дисперсия.

     Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических 
явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную 
характеристику качественно однородной совокупности по определенному 
количественному признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю 
специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это 
качественно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в 
среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл), 
эффективности методических систем и приемов и т. д. 
     В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются мода, медиана и средняя арифметическая.

     Понятие мода заключается в следующем – это числовое значение, встречающееся в выборке наиболее часто.  Обозначается через Мо. Например: в ряду 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6  мода = 5. Существует три условия нахождения моды:

1. Если все значения в выборке встречаются одинаково часто, то такой ряд не имеет моды, например: 2, 2, 3, 3, 4, 4;
2. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, то мода есть среднее арифметическое этих двух значений. Например: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7  Мо=(4+5):2=4,5
3. Если же два не соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, то выделяют две моды.        Например: 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7  Мо=3, Мо=6

 

   Медиана – это значение, которое делит упорядоченный ряд напополам и обозначается через Ме. Для нахождения медианы применяют два правила:

1. Если ряд содержит нечётное число элементов, то медиана есть среднее значение. Например: 2, 6, 8, 10, 11, 12, 16  Ме=10
2. Если же ряд содержит чётное число элементов, то медиана определяется, как среднее арифметическое двух центральных значений. Например:  2, 6, 9, 11, 12, 15  Ме=(9+11):2=10

Среднее арифметическое обозначается через  и определяется, как:

 где n – число элементов в выборке. Т.е. среднее арифметическое равно сумме элементов делённое на их количество.

     Меру разброса данных относительно  среднего значения называют  дисперсией (от лат. dispersio — рассеяние) и обозначают D. Вычисляют же её как:

  , где - элементы ряда х;  а - среднее арифметическое элементов ряда х;  n – число элементов в выборке.

    Степень свободы – понятие, используемое для выражения того факта, что в статистических операциях имеются пределы значений, которые каждый свободен выбрать, накладывающие определенные ограничения на ситуацию. Предел определяется числом имеющихся наблюдений, событий или данных, минус число ограничений.

3. Корреляция и регрессия.

     3.1 Понятие корреляции.

     Корреляция [correlation] — величина, характеризующая взаимную зависимость двух случайных величин, X и Y, безразлично, определяется ли она некоторой причинной связью или просто случайным совпадением.

    Взаимосвязи на языке математики обычно описываются при помощи функций, которые графически изображаются в виде линий. На рисунке ниже изображено несколько графиков функций. Если изменение одной переменной на одну единицу всегда приводит к изменению другой переменной на одну и ту же величину, функция является линейной (график ее представляет прямую линию); любая другая связь — нелинейная. Если увеличение одной переменной связано с увеличением другой, то связь — положительная (прямя), если увеличение одной переменной связано с уменьшением другой, то связь — отрицательная (обратная). Если направление изменения одной переменной не меняется с возрастанием (убыванием) другой переменной, то такая функция — монотонная, в противном случае функцию называют немонотонной. 

                      Положительная связь    Отрицательная связь                                          

 

Линейная

 

Нелинейная

(монотонная) 

           

 

     Функциональные связи, подобные изображенным на рисунке, являются идеализациями. Их особенность заключается в том, что одному значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой переменной. Например, такова взаимосвязь двух физических переменных — веса и длины тела (линейная положительная). Однако даже в физических экспериментах эмпирическая взаимосвязь будет отличаться от функциональной связи в силу неучтенных или неизвестных причин: колебаний состава материала, погрешностей измерения и пр. Существующая в реальности функциональная связь между переменными выступает эмпирически как вероятностная одному и тому же значению одной переменной соответствует распределение различных значений другой переменной (и наоборот). Простейшим примером является соотношение роста и веса людей. Эмпирические результаты исследования этих двух признаков покажут, конечно, положительную их взаимосвязь. Но она будет отличаться от строгой, линейной, положительной — идеальной математической функции, даже при всех ухищрениях исследователя по учету стройности или полноты испытуемых.

     Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом (также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям

2. Регрессия

     Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо случайной величины (всякая наблюдаемая величина, изменяющаяся при повторении общего комплекса условий, в которых она возникает) от некоторой другой величины или нескольких других величин. Следовательно, при регрессионной связи одному и тому же значению величины X (в отличие от функциональной связи) могут соответствовать разные случайные значения величины Y. 

     Регрессионный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X₁,X₂,...,X_p. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными.  

4. Методы статистического вывода

     Приступая к определению того, как будут измерены изучаемые явления, необходимо представлять себе, какому методу статистического вывода будут соответствовать получаемые в процессе исследования исходные данные.

      Первое основание для классификации исследовательских ситуаций — это типы шкал, в которых измерены признаки, связь между которыми изучается. Признаки могут быть измерены либо в количественной шкале (порядковой, метрической), либо в качественной (номинативной) шкале.

     Наиболее многочисленная группа методов относится к случаю, когда одна из переменных является количественной, а другая — качественной. Это широкий класс исследовательских ситуаций, когда задача сводится к сравнению групп (градаций номинативной переменной) по уровню выраженности признака (количественной переменной). Для решения такой задачи применяются методы сравнения, которые можно классифицировать по трем основаниям: а) количество сравниваемых групп (градаций номинативной переменной) — две или более двух; б) соотношение сравниваемых групп: зависимые выборки или независимые выборки; в) шкала, в которой измерен количественный признак: метрическая, ранговая.  

1. Методы  корреляционного  анализа

     Условия применения:

а) два  признака измерены в ранговой или метрической шкале на одной и той же выборке; б) связь между признаками является монотонной (не меняет направления по мере   увеличения значений одного из признаков).