Мат.Методы в психологии

  Пример 1. Пусть функции распределения F(x) и G(x) сосредоточены на интервале       (-1 ; 1), на котором

F(x) = (x + 1)/2 , G(x) = ( x + 1 + 1/p sin px ) / 2 .

Тогда x = F-1(t) = 2t - 1, L(t) = G(F-1(t)) = (2 t + 1/p sin p(2t - 1)) / 2 = t + 1/2p sin p(2t - 1) . Условие (11) выполнено, поскольку функция (G(x) - (x + 1)/2 ) является нечетной. Следовательно, a = 1/2 . Начнем с вычисления

g2 = тt2 dL(t) - 1/4 = тt2 d(t + 1/2p sin p(2t - 1)) - 1/4 .

     Поскольку d(t + 1/2p sin p(2t - 1)) = (1 + cos p(2t - 1) ) dt, то

g2 = тt2 (1 + cos p(2t - 1) ) dt - 1/4 = 1/12 + тt2 cos p(2t - 1) dt .

     С помощью замены переменных t = (x +1) / 2 получаем, что

тt2cos p(2t - 1) dt = 1/8 (тx2cos px dx + 2тx cos px dx + тcos px dx) .

В правой части последнего равенства стоят  табличные интегралы [4, с.71]. Проведя  соответствующие вычисления, получаем, что в правой части стоит 1/8 ( - 4/ p2) = - 1/(2 p2). Следовательно, g2 = 1/12 - 1/(2 p2) = 0,032672733...

     Перейдем  к b2 . Поскольку

b2 = тL2(t)dt- 1/4 = т(t + 1/2p sin p(2t - 1))2 dt- 1/4 , то

b2 = 1/12 + 1/pт(t sin p(2t - 1)) dt + (1/2p)2т sin2 p(2t - 1) dt .

С помощью  замены переменных t = (x+1) / 2 переходим к табличным интегралам :

b2= 1/12 + (4p)-1тx sin px dx + (4p)-1тsin px dx + (8p2)-1тsin2px dx.

     Проведя необходимые вычисления, получаем, что

b2= 1/12 + (4p)-1( - 2/p) +0+ (8p2)-1 = 1/12 - 3(8p2)-1 = 0,045337893...

     Следовательно, для рассматриваемых функций распределения нормированная и центрированная статистика Вилкоксона асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией.

D(T) = ( 0,544 n + 0,392 m + 2,064 ) (m+n+1) - 1 .

  На  наш взгляд, это означает, что  критерий Вилкоксона нельзя считать критерием для проверки гипотезы  при альтернативе общего вида. Он не всегда позволяет проверить однородность - не при всех альтернативах. Точно так же критерии типа хи-квадрат нельзя считать критериями проверки гипотез согласия и однородности - они позволяют обнаружить не все различия, поскольку некоторые "скрадывает" группировка.

   4.4. Пример "№2"

  Пример 2. Построим семейство пар функций распределения F(x) и G(x) таких, что их медианы различны, но для F(x) и G(x) выполнена гипотеза (6). Пусть распределения сосредоточены на интервале (0 ; 1), и на нем G(x) = x , а F(x) имеет кусочно-линейный график с вершинами в в точках (0 ; 0), ( l , 1/2 ), ( d , 3/4), (1 ; 1). Следовательно, F(x) = 0 при x < 0 ; F(x) = x / (2 l) на [0 ; l ) ; F(x) = 1/2 + (x - l ) / (4 d - 4 l) на [l ; d ) ; F(x) = 3/4 + (x - d ) / (4 - 4 d) на [ d ; 1] ; F(x) = 1 при x > 1. Очевидно, что медиана F(x) равна l, а медиана G(x) равна 1/2 .

  Согласно  соотношению (9) для выполнения гипотезы (6) достаточно определить d как функцию l , d = d ( l ) , из условия

тF(x) dx = 1/2 . Вычисления дают

d = d ( l ) = 3 (1 - l ) / 2 .

  Учитывая, что d лежит между l и 1, не совпадая ни с тем, ни с другим, получаем ограничения  на l, а именно, 1/3 < l < 3/5 . Итак, построено  искомое семейство пар функций распределения.

7. Вывод

     U-критерий Мана-Уитни – непараметрический критерий, предназначенный для сравнения независимых выборок. 
        В отличие от t-критерия Стьюдента, U-критерий не требует проверки на нормальность распределения, с его помощью можно сравнивать маленькие выборки объёмом от 3-х наблюдений. Так же он подходит для сравнения выборок, данные в которых распределены ненормально. 
        При расчетах вручную этот критерий не слишком удобен, т.к. для его использования данные необходимо ранжировать. Однако, при наличии Excell, расчеты становятся не такими трудоёмкими, т.к. для ранжирования используется функция РАНГ и автоматическая сортировка.

   Т-Критерий Уилкоксона - непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных измерений. Впервые предложен Фрэнком Уилкоксоном^.

   Критерий  предназначен для сопоставления  показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке  испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть, способен определить, является ли сдвиг показателей в одном направлении более интенсивным, чем в другом.

     Критерий  применим в тех случаях, когда  признаки измерены, по крайней мере, в порядковой шкале. Целесообразно применять данный критерий, когда величина самих сдвигов варьирует в некотором диапазоне (10-15% от их величины). Это объясняется тем, что разброс значений сдвигов должен быть таким, чтобы появлялась возможность их ранжирования. В случае если сдвиги незначительно отличаются между собой, и принимают какие-то конечные значения, например. +1, -1 и 0, формальных препятствий к применению критерия нет, но, ввиду большого числа одинаковых рангов, ранжирование утрачивает смысл, и те же результаты проще было бы получить с помощью критерия знаков. 
 
 
 

     Список литературы.

1. Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947. — № 18. — P. 50—60.
2. Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. — 1945. — P. 80-83.
3. Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. — Л., 1973  
4. http://psytu.narod.ru/Live/vospr.htm
5. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — С-Пб., 2002.
6. Глас Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М: Прогресс. 1976 г.
7. Захаров В.П. Применение математических методов в социально-психологических исследованиях, Л: ЛГУ, 1985г.
8. Суходольский Г. Основы математической статистики для психологов, Л: ЛГУ, 1972 г., 420 стр.
9. Рабочая книга социолога. М6 Наука, 1976 г.
10. Иберла К., Факторный анализ, М: СтатистикаЮ, 1980 г., 398 стр.