3.2 Пример расчета U-критерия Манна-Уитни "№2"

 
Сравнению подлежат результаты контрольной  работы выборки «А» из 4-х школьников, посещавших специальные занятия, и выборки «Б», состоящей из 7 школьников, никаких занятий не посещавших. Последовательность действий, для вычисления критерия Манна-Уитни такова. 
1. Проранжировать число успешно решенных заданий, объединив обе выборки.

Кол-во случаев  в первой выборке: n1=4 
Кол-во случаев во второй выборке: n2 = 7 
Всего случаев: N = 4+7 = 11 
Сумма рангов первой выборки: R1 = 37 
Сумма рангов второй выборки: R2 = 29 
Для проверки вычисляем: R1+R2= (N/2)*(1+N); 37+29 = 11/2 * (1+11); 
66 = 66. Расчеты верны 
2. Находим эмпирическое значение U-критерия. 
Для этого вычисляем два значения: 
U1= n1 * n2 + (n1*(n1 + 1) / 2) – R1 
U2= n1 * n2 + (n2*(n2 + 1) / 2) – R2 
Эмпирическим считается наименьшее из U1 и U2. 
U1 = 4 * 7 + 4*(4+1)/2 – 37 = 27 
U2 = 4 * 7 + 7*(7+1)/2 – 29 = 31 
Эмпирическое значение U=27 
3. Ищем критическое значение по таблице. 
Число на пересечении размера наибольшей выборки (size of the largest sample) и и наименьшей выборки (size of the smallest sample) является критическим значением коэффициента Манна-Уитни. В нашем случае размер наибольшей выборки 7, наименьшей – 4. 
Находим критическое значение при p≤0,05 Uкрит = 3. 
4. Делаем вывод. 
Полученное эмпирическое значение больше критического (27>3), значит различия достоверны. 
Различия достоверны (U=27; p≤0,05)

4. Критерий Уилкоксона

   Т-Критерий Уилкоксона - непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных измерений. Впервые предложен Фрэнком Уилкоксоном^.

   Другие  названия: W критерий Уилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона, Критерий Уилкоксона для связных выборок  .

   Назначение критерия.

   Критерий  предназначен для сопоставления  показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть, способен определить, является ли сдвиг показателей в одном направлении более интенсивным, чем в другом.

  Критерий  Вилкоксона - один из самых известных инструментов непараметрической статистики (наряду со статистиками типа Колмогорова-Смирнова и коэффициентами ранговой корреляции). Свойствам этого критерия и таблицам его критических значений уделяется место во многих монографиях по математической и прикладной статистике (см., например, [1-3]).

     Однако  в литературе имеются и неточные утверждения относительно возможностей критерия Вилкоксона. Так, одни полагают, что с его помощью можно  обнаружить различие между функциями  распределения F(x) и G(x). По мнению других, этот критерий нацелен на проверку равенства медиан распределений, соответствующих выборкам. И то, и другое, строго говоря, неверно. Настоящая статья написана, чтобы внести ясность в рассматриваемый вопрос.

     Введем  некоторые обозначения. Пусть F-1(t) - функция, обратная к функции распределения F(x). Она определена на отрезке [0;1]. Положим L(t) = G(F-1(t)). Поскольку F(x) непрерывна и строго возрастает, то F-1(t) и L(t) обладают теми же свойствами. Важную роль в дальнейшем изложении будет играть величина a = P(X < Y) . Как нетрудно показать,

a = P(X < Y) = .

Введем  также

b2 = - (1 -a)2 , g2 = - a2 .

Тогда математические ожидания и дисперсии  статистик Вилкоксона и Манна-Уитни  согласно [1, с.160] выражаются через введенные величины:

E(U) = mna , E(S) = mn + m(m+1)/2 - E(U) = mn(1- a) + m(m+1)/2,

D(S) = D(U) = mn [ (n - 1) b2 + (m - 1) g2 + a(1 -a) ] . (1)

     Когда объемы обеих выборок безгранично  растут, распределения статистик  Вилкоксона и Манна-Уитни являются асимптотически нормальными с параметрами, задаваемыми формулами (1) .

     Если  выборки полностью однородны, т.е. их функции распределения совпадают, справедлива гипотеза

H0: F(x) = G(x) при всех x, (2)

то L(t) = t и a= 1/2. Подставляя в формулы (1), получаем, что

E(S) = m(m+n+1)/2, D(S) = mn(m+n+1)/ 12 (3) .

     Следовательно, распределение нормированной и  центрированной статистики Вилкоксона

T = ( S - m(m+n+1)/2) (mn(m+n+1)/ 12 ) - 1/2 (4)

при росте  объемов выборок приближается к  стандартному нормальному распределению (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1).

     Правила принятия решений и таблица критических  значений для критерия Вилкоксона строятся в предположении справедливости гипотезы полной однородности, описываемой  формулой (2). А что будет, если эта гипотеза неверна? Другими словами, какова мощность критерия Вилкоксона?

Пусть объемы выборок достаточно велики, так что можно пользоваться асимптотической  нормальностью статистики Вилкоксона. Тогда в соответствии с формулами (1) статистика T будет асимптотически нормальна с параметрами

E(T) = ( 12mn ) 1/2 (1/2 - a) (m+n+1) - 1/2 ,

D(T) = 12 [(n - 1) b2 + (m - 1) g2 + a(1 -a) ] (m+n+1) - 1 . (5)

Из формул (5) видно большое значение гипотезы

H01: a = P(X < Y) = 1/2 . (6)

Если  эта гипотеза неверна, то, поскольку m # n, справедлива оценка

u E(T) u $ ( 12m n (2n+1) - 1) 1/2 u 1/2 - au ,

а потому u E(T) u безгранично растет при росте  объемов выборок. В то же время, поскольку

b2 # # 1, g2 # # 1, a(1 -a)#1/4, то

D(T) # 12 [(n - 1) + (m - 1) + 1/4] (m+n+1) - 1 # 12. (7)

Следовательно, вероятность отклонения гипотезы H01 , когда она неверна, т.е. мощность критерия Вилкоксона как критерия проверки гипотезы (6), стремится к 1 при возрастании объемов выборок, т.е. критерий Вилкоксона является состоятельным для этой гипотезы при альтернативе

АH01: a = P(X < Y) ё 1/2 . (8) .

Если  же гипотеза (6) верна, то статистика T асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией, определяемой формулой

D(T) = 12 [(n - 1) b2 + (m - 1) g2 + 1/4 ] (m+n+1) - 1 . (9)

Приведем  пример двух функций распределения F(x) и G(x):

a = P(X < Y) = тF(x)dG(x) , 1 - a = P(Y < X) = тG(x)dF(x) (10) ,

a = 1/2 в  случае справедливости гипотезы  ,то для выполнения условия необходимо и достаточно, чтобы

т(F(x) - G(x)) dF(x) = 0,

а потому естественно в качестве F(x) рассмотреть  функцию равномерного распределения  на интервале (-1 ; 1). Тогда формула (11) переходит в условие

т(F(x) - G(x)) dF(x) = - 1/2 т(G(x) - (x + 1)/2 ) dx = 0 (11) .

Это условие  выполняется, если функция (G(x) - (x + 1)/2 ) является нечетной.

4.1 Описание критерия.

     Критерий  применим в тех случаях, когда  признаки измерены, по крайней мере, в порядковой шкале. Целесообразно применять данный критерий, когда величина самих сдвигов варьирует в некотором диапазоне (10-15% от их величины). Это объясняется тем, что разброс значений сдвигов должен быть таким, чтобы появлялась возможность их ранжирования. В случае если сдвиги незначительно отличаются между собой, и принимают какие-то конечные значения, например. +1, -1 и 0, формальных препятствий к применению критерия нет, но, ввиду большого числа одинаковых рангов, ранжирование утрачивает смысл, и те же результаты проще было бы получить с помощью критерия знаков.

   Суть  метода состоит в том, что мы сопоставляем абсолютные величины выраженности сдвигов  в том или ином направлении. Для  этого сначала все абсолютные величины сдвигов ранжируются, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в ту или иную сторону происходят случайно, то и суммы их рангов окажутся примерно равны. Если же интенсивность сдвигов в одну сторону больше, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

   Этот  критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней  мере по шкале порядка, и сдвиги между  вторым и первым замерами тоже могут  быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. В принципе, можно применять Т - критерий Вилкоксона и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: -1, 0 и +1, но тогда критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от -30 до +45, тогда имеет смысл их ранжировать и потом суммировать ранги.

Первоначально мы исходим из предположения о  том, что типичным сдвигом будет  сдвиг в более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, сдвигом - сдвиг в более редко встречающемся направлении.

Ограничения критерия.

   Объем выборки – от 5 до 50 элементов.

   Нулевые сдвиги исключаются из рассмотрения. (Это требование можно обойти, переформулировав вид гипотезы. Например: сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону их уменьшения и тенденцию к сохранению на прежнем уровне.)

   Минимальное количество испытуемых, прошедших измерения  в двух условиях - 5 человек. Максимальное количество испытуемых - 50 человек, что диктуется верхней границей имеющихся таблиц.

   Сдвиг в более часто встречающемся  направлении принято считать  «типичным», и наоборот.

4.2 Алгоритм

1. Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.
2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах. Определить, что будет считаться типичным сдвигом.
3. Согласно алгоритму ранжирования, проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг, и проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.
4. Отметить каким-либо способом ранги, соответствующие сдвигам в нетипичном направлении. Подсчитать их сумму Т.
5. Определить критические значения Т для данного объема выборки. Если Т-эмп. меньше или равен Т-кр. – сдвиг в «типичную» сторону достоверно преобладает.

Фактически оцениваются  знаки значений, полученных вычитанием ряда значений одного измерения из другого. Если в результате количество снизившихся значений примерно равно  количеству увеличившихся, то гипотеза о нулевой медиане подтверждается.

Гипотезы  Т – критерия Вилкоксона

H₀: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

H₁: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

   4.3. Пример "№1"