Міністерство  науки та освіти України

Одеський  національний університет  імені І.І.Мечникова

Інститут  інноваційної та післядипломної освіти

Кафедра Клінічної психології 
 
 
 
 
 
 

Контрольна  робота

З курсу "Мат. Методи в психології"

"Критерії Манна-Уітні та Вілкоксона." 
 
 
 
 
 
 
 

Виконала: Семенюк В.В.

Курс  4

Спеціальність: Юридичний психолог

Форма навчання: заочна

Викладач: ________________________  
 
 
 
 
 
 
 
 

Одеса 2011 р.

Содержание:

1. Введение;
2. Основная информация о критерии Манна — Уитни:

2.1 Ограничения применимости критерия,

     2.2 Использование критерия;

3. U критерий  Манна-Уитни:

3.1 Пример расчета U-критерия Манна-Уитни "№1",

     3.2 Пример расчета U-критерия Манна-Уитни "№2";

4. Критерий  Вилкоксона:

     4.1 Описание критерия,

     4.2 Алгоритм,

     4.3. Пример "№1",

     4.4. Пример "№2";

5. Вывод;
6. Список литературы.

 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение

В данной работе мы рассмотрим критерии Манна-Уитни и Вилкоксона и приведем несколько примеров их вычисления.

    Цель  работы: рассмотрение критериев Манна-Уитни и Вилкоксона.

    Предмет: критерии Манна-Уитни и Вилкоксона.

    Задание: изучить критерии Манна-Уитни и Вилкоксона.

Источником  информации данной работы стали работы:

Манна Х., Уитни Д., Вилкоксона Ф., Сидоренко Е. В., Гублера Е. В., Генкина А. А. и других. 

   U-критерий  Мана-Уитни – непараметрический критерий, предназначенный для сравнения независимых выборок. 
        В отличие от t-критерия Стьюдента, U-критерий не требует проверки на нормальность распределения, с его помощью можно сравнивать маленькие выборки объёмом от 3-х наблюдений. Так же он подходит для сравнения выборок, данные в которых распределены ненормально. 
        При расчетах вручную этот критерий не слишком удобен, т.к. для его использования данные необходимо ранжировать. Однако, при наличии Excell, расчеты становятся не такими трудоёмкими, т.к. для ранжирования используется функция РАНГ и автоматическая сортировка.

   Т-Критерий Вилкоксона - непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных измерений. Впервые предложен Фрэнком Вилкоксоном^.

   Критерий  предназначен для сопоставления  показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке  испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть, способен определить, является ли сдвиг показателей в одном направлении более интенсивным, чем в другом. 
 
 

2. Основная информация  о критерии Манна — Уитни

     U-критерий  Манна — Уитни (англ. Mann — Whitney U-test) — статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

     Другие  названия: критерий Манна — Уитни  — Уилкоксона (англ. Mann — Whitney — Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона — Манна — Уитни (англ. Wilcoxon — Mann — Whitney test). Реже: критерий числа инверсий.

     Данный  метод выявления различий между  выборками был предложен в 1945 году Фрэнком Уилкоксоном (F. Wilcoxon). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney), по именам которых сегодня обычно и называется.

     Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума.

     Этот  метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между  двумя рядами (ранжированным рядом  значений параметра в первой выборке  и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

2.1 Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной  выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа — разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

2.2 Использование критерия

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно  произвести следующие операции.

1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным:

N = n₁ + n₂,

где n₁ — количество единиц в первой выборке, а n₂ — количество единиц во второй выборке.

2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм (T_x), соответствующую выборке с n_x единиц.
3. Определить значение U-критерия Манна — Уитни по формуле:

4. По таблице  для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных n₁ и n₂. Если полученное значение U меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение U больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U.
5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание и дисперсию и при достаточно большом объёме выборочных данных распределён практически нормально.

 
 

3. U критерий Манна-Уитни

     Критерий Манна-Уитни представляет непараметрическую альтернативу                       t-критерия для независимых выборок. STATISTICA предполагает, что данные расположены тем же образом, что в и t-критерии для независимых выборок. Файл должен содержать кодовую (независимую) переменную, имеющую, по крайней мере, два разных кода для однозначной идентификации принадлежности каждого наблюдения к определенной группе.

     Предположения и интерпретация. Критерий Манна-Уитни предполагает, что рассматриваемые переменные измерены, по крайней мере, в порядковой шкале (ранжированы). Интерпретация теста по существу похожа на интерпретацию результатов t-критерия для независимых выборок, за исключением того, что U критерий вычисляется, как сумма индикаторов попарного сравнения элементов первой выборки с элементами второй выборки. U критерий - наиболее мощная (чувствительная) непараметрическая альтернатива t-критерия для независимых выборок; фактически, в некоторых случаях он имеет даже большую мощность, чем t-критерий.

     Если  объем выборки больше 20, то распределение  выборки для U статистики быстро сходится к нормальному распределению (см. Siegel, 1956). Поэтому вместе с U статистикой будут показаны z значение (для нормального распределения и соответствующее p-значение.

     Точные  вероятности для  малых выборок. Для выборок малого объема STATISTICA вычислит точную вероятность, связанную с соответствующей U статистикой. Эта вероятность основана на подсчете всех возможных значений U при заданном количестве наблюдений в двух выборках (см. Dinneen & Blakesley, 1973). Программа сообщит (в последнем столбце таблицы результатов) значение 2 * p, где p равно 1 минус кумулятивная (односторонняя) вероятность соответствующей U статистики. Заметим, что это обычно не приводит к большой недооценке статистической значимости соответствующих эффектов (см. Siegel, 1956). 
 
 
 

     3.1 Пример расчета U-критерия Манна-Уитни "№1"

     Пример №1. Проверим гипотезу о принадлежности сравниваемых независмых выборок к одной и той же генеральной совокупности с помощью непараметрического U-критерия Манна-Уитни.

     Сравним результаты, полученные в примере 1 для 2-го и 3-го столбцов таблицы по критерий Стьюдента, с результатами непараметрического сравнения. Для расчета U-критерия Уилкоксона расположим варианты сравниваемых выборок в порядке возрастания в один обобщенный ряд и присвоим вариантам обобщенного ряда ранги от 1 до n1 + n2. Первая строка представляет собой варианты первой выборки, вторая - второй выборки, третья - соответствующие ранги в обобщенном ряду:

     Надо  обратить внимание, что если имеются  одинаковые варианты, им присваивается  средний ранг, однако значение последнего ранга должно быть равно n1 + n2 (в нашем случае 20). Это правило используют для проверки правильности ранжирования.

     Отдельно  для каждой выборки рассчитываем суммы рангов их вариант R1 и R2. В нашем  случае:

     R1 = 1 + 2,5 + 2,5 + 5 + 5 + 9 + 9 + 9 + 12 + 14 = 69

     R2 = 5 + 9 + 9 + 14 + 14 + 17 + 17 +17 + 19,5 + 19,5 = 141

     Для проверки правильности вычислений можно  воспользоваться другим правилом: R1 + R2 = 0,5 * (n1 + n2) * (n1 + n2 + 1). В нашем случае R1 + R2 = 210.

     Статистика U1 = 69 - 10*11/2 = 14; U2 = 141 - 10*11/2 = 86.

   Для проверки одностороннего критерия выбираем минимальную  статистику U1 = 14 и сравниваем ее с  критическим значением для n1 = n2 = 10 и уровня значимости 1%, равным 19. Так  как вычисленное значение критерия меньше табличного, нулевая гипотеза отвергается на выбранном уровне значимости, и различия между выборками признаются статистически значимыми.