w₁=10^-1,57=0,027 с^-1                     Т₁= = = 37,04с

            

                w₂=10^0,175=1,50с^-1                           Т₂= = = 0,67с 

                w₃=10^-0,38=0,42 с^-1                      Т₃= = = 2,38с

            Передаточная функция  имеет  вид:

                       

График  можно увидеть в Приложении Графики.Типовая желаемая ЛАЧХ по которой записана последняя передаточная функция и ЛФЧХ ,которая имеет вид  j(w) = -90^о + arctg2.38w - arctg37.04w - 2arctg0,67w - arctg0,01w, показана в приложении Графики.

Расчет  последовательного  корректирующего  звена

  ЛАЧХ последовательного  непрерывного корректирующего звена  строится путем графического вычитания из ЛАЧХ желаемой ЛАЧХ заданной части системы. (см приложение Графики)

  По виду  ЛАЧХ  нужно записать передаточную  функцию непрерывного последовательного  корректирующего звена.

              

                    ,      (2) 

Эту же передаточную функцию можно получить, если передаточную функцию желаемую К_ж(Р) поделить на передаточную функцию заданной части системы  К_з(Р).

  К_кор = К_с/К_з = 3703.7    

              
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.6. Моделирование   следящей  системы   с непрерывным

последовательным  корректирующим  звеном 

  Для того чтобы убедиться , что коррекция системы произведена правильно и скорректированная  система имеет показатели качества переходного процесса не хуже заданных, нужно провести моделирование . Моделирование проводится в специализированном пакете Matlab simulink .

На рис. 5 построена переходная функция H(t) переходного процесса для системы с непрерывным корректирующим звеном.

  

  Ниже представлена переходная функция H(t) переходного процесса для системы с непрерывным корректирующим звеном. 

 
 

  Время регулирования t_p.н. = 1,3 с, перерегулирование s_max.н. =30 %. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.6. Определение дискретной  передаточной функции

корректирующего звена

  Для получения дискретной передаточной функции звена по его непрерывной передаточной функции воспользуемся  билинейным преобразованием. Для этого нужно в непрерывную передаточную функцию корректирующего звена сделать подстановку :

  Для  проведения расчетов воспользуемся специализированным математическим  пакетом Mathcad 2000 .

Искомая передаточная функция  имеет вид:

                                       (3)   

  C помощью программы определяются коэффициенты S_i и G_i   передаточной функции (1).

       S₀ = 95596,7        G₀ = 2,46197

       S₁ = -409116       G₁ = -14,13776

       S₂ = 655840       G₂ = 30,13385

       S₃ = -466773       G₃ = -28,18557

       S₄ = 124452                G₄ = 9,727763 

      В программу нужно ввести также период квантования по времени Тo. Чем меньше Тo , тем более дискретная система приближается по своим свойствам к непрерывной. Однако при слишком малых значениях То  процессор в реальной системе может не успевать выполнять все необходимые вычисления. Кроме того, при уменьшении То увеличивается число шагов переходного процесса. Так как вычисления проводятся по рекуррентным формулам, неизбежные ошибки вычислений накапливаются от шага к шагу и при чрезмерно большом числе шагов ошибка вычислений может превысить допустимую величину (система может    оказаться неустойчивой, либо с неудовлетворительным качеством переходного процесса). В силу сказанного, То не должно быть слишком мало. Рекомендуется выбирать То в пределах (0,1 - 0,01)/w_c , где w_c - частота среза скорректированной системы. Выбираем То = 0,05/8 = 0,0063 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.8. Получение рекуррентного  уравнения

цифрового корректирующего  звена 

Пусть дискретная передаточная функция имеет  вид (3). Уравнение (3) запишем следующим  образом:

                         ,             (4)     

где     U(Z)  -  Z-изображение выходной величины цифрового корректирующего устройства;

          X(Z)  -  Z-изображение входной  величины корректирующего устройства.

(коэффициенты  S_i  , G_i определены в п.3.7 )

Перепишем уравнение (4), избавившись от знаменателя  в левой и правой частях:     

 U(Z)(G0+G1Z+G2Z²+G3Z³+G4Z⁴)=X(Z)(S0+S1Z+S2Z²+S3Z³+S4Z⁴) .                       

Раскрыв скобки, поделив левую и правую части уравнения на Z⁴   и перейдя от изображений к оригиналам, получим: 

G0U[n-4]+G1U[n-3]+G2U[n-2]+G3U[n-1]+G4U[n] =

S0X[n-4]+S1X[n-3]+S2X[n-2]+S3U[n-1]+S4U[n] 

здесь  X[n] ,  U[n]   -  значения входной и выходной величин в произвольный такт времени n ,  X[n-1], X[n-2] . . .,  U[n-1], U[n-2] . . . – значения входной и выходной величин в предшествующие такту n времени.

Из последнего уравнения выразим U[n]: 

            U[n]=( S0X[n-4]+S1X[n-3]+S2X[n-2]+S3U[n-1]+S4U[n]-                (6)

               G0U[n-4]-G1U[n-3]-G2U[n-2]-G3U[n-1] )/G4 

Как указано  выше в расчетах программы:

       S₀ = 95596,7        G₀ = 2,46197

       S₁ = -409116       G₁ = -14,13776

       S₂ = 655840       G₂ = 30,13385

       S₃ = -466773       G₃ = -28,18557

       S₄ = 124452                G₄ = 9,727763

Уравнение (6) является рекуррентным уравнением, описывающим алгоритм работы цифрового корректирующего устройства. По нему должна быть составлена программа работы данного устройства. 
 
 
 
 

Заключение 

  Основные характеристики спроектированной следящей системы с  цифровым корректирующим звеном : время регулирования t_p.ц = 1,3 с и перерегулирование s_max.ц. = 30% полностью удовлетворяют заданным параметрам : t_p = 2 с и s_max = 35% .

      Период  квантования Т₀ выбран достаточно мал , так что дискретная система приближается по своим свойствам к непрерывной . Время регулирования системы с цифровым корректирующим звеном t_p.ц  = 1,8 с совпадают с непрерывным корректирующим звеном t_p.н. = 1,8 с ,но в настоящее время чаще используются цифровые системы управления так как они обладают  большей надежностью и точностью работы по сравнению с непрерывными. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Л И Т Е Р А Т У Р А 
 

   1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 766 с. 
 

2. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Год: 2004 ISBN: 978-5-9221-0858-4 Язык: русский

 
 

3. Воронов А.А. Теория автоматического управления. Год 1996

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение 1

     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Схема электрическая  принципиальная 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расшифровка обозначений 

У1 – усилитель напряжения 1

АЦП –  аналого-цифровой преоразователь

В – вычислитель

ЦАП –  цифро-аналоговый преобразователь

У2 – усилитель напряжения 2

ЭМУ –  электромашинный усилитель с поперечным полем

ОУ –  объект управления

Р – редуктор

ФД –  фазовый детектор

Д –  двигатель

Тр1 – трансформатор 1

Тр2 – трансформатор 2