p align="justify">     Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения- гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:

     

     Вычислив  все вероятности состояний n – канальной СМО с отказами р₀ , р₁, р₂, …,р_k,…, р_n, можно найти характеристики системы обслуживания.

     Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии S_n:

       k=n.

     В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому 

     Р_отк+Р_обс=1

     На  этом основании относительная пропускная способность определяется по формуле

     Q = P_обс= 1-Р_отк=1-Р_n

     Абсолютную  пропускную способность СМО можно  определить по формуле 

     А=λ*Р_обс

     Вероятность обслуживания, или доля обслуженных  заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и по другой формуле:

     

     Пример. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с  тремя (n=3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для  решения поступающих задач. Поток  задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ=1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания tоб=1,8 час.

          Требуется вычислить значения:

          - вероятности числа занятых каналов  ВЦ;

          - вероятности отказа в обслуживании  заявки;

          - относительной пропускной способности ВЦ;

          - абсолютной пропускной способности  ВЦ;

          - среднего числа занятых ПЭВМ  на ВЦ.

          Определите, сколько дополнительно  надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить  пропускную способность ВЦ в  2 раза.

     Решение.

          Определим параметр μ потока обслуживаний:

     

     Приведенная интенсивность потока заявок

     

     Предельные  вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:

        

     Вероятность отказа в обслуживании заявки

     Р_отк = Р₃ = 0,18

     Относительная пропускная способность ВЦ

     

     Абсолютная  пропускная способность ВЦ:

     

     Среднее число занятых каналов – ПЭВМ

     

     Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет  занято 1,5 компьютера из трех – остальные  полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать  удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р3= 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

       Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу вероятности отказа:

     

     Составим  следующую таблицу: 

 

     Анализируя  данные таблицы, следует отметить, что  расширение числа каналов ВЦ при  данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так  как при n = 6 вероятность отказа в обслуживании (Ротк) составляет 0,0078.

3.Системы массового обслуживания с ожиданием

3.1.Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

     Рассмотрим систему с ограниченной  очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Обозначим  P_n - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:

Здесь P=λ/µ - приведенная интенсивность потока.  Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна:

абсолютная  пропускная способность:

     А=q∙λ;

Рассмотрим  пример одноканальной СМО с ожиданием: 

Специализированный  пост диагностики представляет собой  одноканальную СМО. Число стоянок  для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N— 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно t_oб =1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

     Решение

     Интенсивность потока обслуживаний  автомобилей:

µ=1/t_об =1/1,05=0,952

Приведенная интенсивность потока автомобилей  определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е.

    P=λ/ µ=0,85/0,952=0,893

Вычислим вероятности нахождения P заявок в системе:

P1=r∙P0=0,893∙0,248=0,221;

     P2=r2∙P0=0,8932∙0,248=0,198;

     P3=r3∙P0=0,8933∙0,248=0,177;

     P4=r4∙P0=0,8934∙0,248=0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

     Pотк=Р4=r4∙P0≈0,158.

     Относительная пропускная способность поста диагностики:

     q=1–Pотк=1-0,158=0,842.

     Абсолютная пропускная способность  поста диагностики 

     А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).

     Среднее число автомобилей, находящихся  на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа.

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

     Wq=Ws-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.

     Среднее число заявок в очереди  (длина очереди):

     Lq=λ∙(1-PN)∙Wq=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.

     Работу рассмотренного поста  диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не  обнаруживает автомобили в среднем  в 15,8% случаев (Ротк=0,158).

3.2.Многоканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового  обслуживания при этом характеризуется  следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна  1/µ

Вероятности того, что в системе находятся P заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:

Где

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим  формулам:

     среднее число клиентов в очереди на обслуживание

среднее число  находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)

     Ls=Lq+ρ;

     средняя  продолжительность пребывания клиента  (заявки на обслуживание) в очереди

средняя продолжительность  пребывания клиента в системе

Рассмотрим пример многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой  механизации. Поток неисправных  механизмов, прибывающих в мастерскую,  - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

     Требуется  вычислить следующие предельные  значения вероятностных характеристик  системы:

     - вероятность состояний системы;

     - среднее число заявок в очереди  на обслуживание;

     - среднее число находящихся в  системе заявок;

     - среднюю продолжительность пребывания  заявки в очереди;

     - среднюю продолжительность пребывания  заявки в системе.

Решение

     Определим  параметр потока обслуживаний

Приведенная интенсивность  потока заявок

     ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,

    при этом λ/μ ∙с=2,5/2∙3=0,41<1.

     Поскольку  λ/μ∙с<1, то очередь не растет  безгранично и в системе наступает  предельный стационарный режим  работы.

     Вычислим  вероятности состояний системы: