Федеральное государственное образовательное  учреждение

среднего  профессионального образования 

«Омский промышленно-экономический колледж» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  дисциплине «Математические  методы»

на  тему «Основные понятия теории очередей» 
 
 
 
 

Выполнил:

Плешивых  С.А.        

Руководитель 

Белгородцева  Н.А.

Оценка:________________

Дата  защиты:___________ 
 
 
 
 

2010

Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

 

      Во  многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

     Примером  может служить организация событий  в Windows. Когда пользователь оказывает  какое-то действие на приложение, то в приложении не вызывается соответствующая процедура (ведь в этот момент приложение может совершать другие действия), а ему присылается сообщение, содержащее информацию о совершенном действии, это сообщение ставится в очередь, и только когда будут обработаны сообщения, пришедшие ранее, приложение выполнит необходимое действие. 
 
 
 
 
 
 

Обзор литературы

1.Системы массового обслуживания

 

     Теория  массового обслуживания опирается  на теорию вероятностей и математическую статистику.

         На первичное развитие теории  массового обслуживания оказали  особое влияние работы датского  ученого А.К. Эрланга (1878-1929).

      Теория  массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

     Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

     Системы массового обслуживания могут быть одноканальными или многоканальными.

     Механизм  обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и  структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры  обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

          Следует отметить, что время обслуживания  заявки зависит от характера  самой заявки или требований  клиента и от состояния и  возможностей обслуживающей системы.  В ряде случаев приходится  также учитывать вероятность  выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

          Структура обслуживающей системы  определяется количеством и взаимным  расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть,  что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

          Система обслуживания может состоять  из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

          Рассмотрев основные компоненты  систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности  любой системы массового обслуживания  определяются следующими основными факторами:

     1.вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

     2.вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;

     3.конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);

     4.количеством и производительностью обслуживающих каналов;

     5.дисциплиной очереди;

     6.мощностью источника требований.

          В качестве основных критериев  эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

     1.вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

     2.вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

     3.относительная и абсолютная пропускная способность системы;

     4.средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

     5.среднее время ожидания в очереди;

     6.средняя длина очереди;

     7.средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п. 

2.Системы массового обслуживания с отказами

2.1.Одноканальная СМО с отказами

 

Простейшей из всех задач теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО  с отказами (потерями). 

При этом система  массового обслуживания состоит  только из одного канала (n = 1) и на нее  поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ , зависящей, в общем случае, от времени: λ= λ(t)

Заявка, заставшая  канал занятым, получает отказ и  покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени  распределенного по показательному закону с параметром

ƒ(t)=µe^-µt (t>0)

Из этого следует, что «поток обслуживания» — простейший, с интенсивностью λ. Чтобы представить себе этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал, который будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью µ.

Примерами одноканальных  СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного  предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается  связь по телефону.

Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — t_об=1,8 часа.

     Требуется  определить в установившемся  режиме предельные значения:

     относительной  пропускной способности q;

     абсолютной  пропускной способности А;

     вероятности отказа Р_отк;

     Сравнить  фактическую пропускную способность  СМО с номинальной, которая  была бы, если бы каждый автомобиль  обслуживался точно 1,8 часа и  автомобили следовали один за  другим без перерыва.

     Решение

Определим интенсивность  потока обслуживания:

Вычислим относительную пропускную способность:

q =µ/(λ+ µ)=0,555/(1+0,555)=0,356

Величина q означает, что в установившемся режиме система  будет обслуживать примерно 35% прибывающих  на пост автомобилей.

     Абсолютную  пропускную способность определим  по формуле: А=λ×q=1×0,356=0,356.

     Это  означает, что система способна  осуществить в среднем 0,356 обслуживания  автомобилей в час.

     Вероятность  отказа:

     Ротк=1-q=1-0,356=0,644.

     Это  означает, что около 65% прибывших  автомобилей на пост ЕО получат  отказ в обслуживании.

     Определим  номинальную пропускную способность  системы:

А_ном = 1/t_об =1/1,8=0,555 автомобилей в час

Оказывается, что  А_ном в 0,555/0,356≈1,5 раза  больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

2.2.Многоканальная СМО с отказами

 

     В коммерческой деятельности примерами  многоканальных СМО являются офисы  коммерческих предприятий с несколькими  телефонными каналами, бесплатная справочная служба по наличию в авто магазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет 7 телефонных номеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.

     Следовательно, авто магазины теряют клиентов, возможность  увеличить количество проданных  автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.

     Туристические фирмы по продаже путевок имеют  два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

     Рассмотрим  многоканальную СМО с отказами в  обслуживании на рис. 3.2, на вход которой  поступает пуассоновский поток  заявок с интенсивностью λ.

     

     Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются ее состояния S_k, представленные в виде размеченного графа:

     S₀ – все каналы свободны k=0,

     S₁ – занят только один канал, k=1,

     S₂ – заняты только два канала, k=2,

     S_k – заняты k каналов,

     S_n – заняты все n каналов, k= n.

     Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например S₀ в S₁, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния S_k в S_k-1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kμ, следовательно, поток событий, переводящий систему из S_n в S_n-1, имеет интенсивность nμ. Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика- основателя теории массового обслуживания.

<