Моделирование телефонной станции

     Треугольно   распределенная   случайная   X      связана   со   случайной       величиной   R, распределенной равномерно на [0,1], соотношением:

     если 

     

     

     Рис.8. График плотности треугольного распределения 

     Экспоненциальное (показательное) распределение. Если вероятность того, что один и только один результат наступит на интервале Δt, пропорциональна Δt и если наступление результата не зависит от наступления других результатов, величины интервалов между результатами распределены экспоненциально. Другими словами, работа, продолжительность которой экспоненциально распределена, имеет одинаковую вероятность завершения в течение любого последующего периода времени Δt. Таким образом, работа, выполняемая за t единиц времени, имеет ту же вероятность окончания в последующий период Δt, что и только что начатая работа. Подобное отсутствие временной обусловленности называется марковским свойством или свойством отсутствия последействия. Существует прямая связь между предположением об экспоненциальности распределения продолжительности работы и марковским свойством. Экспоненциальное распределение предполагает значительную вариабельность переменной. Если математическое ожидание продолжительности работы равно 1/α, то дисперсия равна 1/α2. По сравнению с большинством остальных распределений экспоненциальное обладает большей дисперсией.

     Функция распределения:

           1– e-αt,  при t > = 0,

       0,   при t <0,

     α > 0 - параметр экспоненциального закона

     С экспоненциальным распределением легко осуществлять математические преобразования, благодаря чему оно применяется в целом ряде исследований.

     Методом обратных функций  можно показать, что  показательно распределенная случайная величина X связана со случайной  величиной R, распределенной равномерно на [0,1], соотношением:

     Y= -1/α * ln (1-R),

     где α - параметр показательного закона 

 

     Рис.9. Графики функции распределения и плотности распределения

     Распределение Пуассона. Распределение Пуассона является дискретным и обычно связано с числом результатов за определенный период времени. Если продолжительность интервалов между результатами распределена экспоненциально, и в каждый момент времени может произойти только один результат, то можно доказать, что число результатов на фиксированном интервале времени распределено по закону Пуассона. Другими словами, если интервалы между прибытиями распределены экспоненциально, распределение числа прибытий будет пуассоновским.

        

      

           

     где λ > 0, k > = 0 - параметры закона. Пуассоновское распределение используется часто как аппроксимация биномиального распределения в том случае, когда оно моделирует последовательности независимых испытаний Бернулли (результаты таких испытаний могут быть типа «да - нет», «стоять - идти», «успех - неудача» и т. п.). При больших значениях математического ожидания пуассоновское распределение аппроксимируется нормальным. Для получения пуассоновски распределенной случайной величины Y можно воспользоваться следующим методом: установить значение величины Y равным первому значению N, такому, что

       
 

     где Rn – пуассоновское псевдослучайное число. 

     Нормальное  распределение. Нормальное (Гауссово) распределение является наиболее важным в теории вероятностей и математической статистике. Эту роль нормальное распределение приобрело в связи с центральной предельной теоремой, которая утверждает, что при весьма нестрогих условиях распределение средней величины или суммы N независимых наблюдений из любого распределения стремиться к нормальному по мере увеличения N. Таким образом, сумму случайных величин часто можно считать нормально распределенной. Именно благодаря центральной предельной теореме нормальное распределение так часто применяется в исследованиях по теории вероятностей и математической статистике. Существует и другая причина частого применения нормального распределения. Его преимуществом является легкость математического трактования, в связи с чем многие методы доказательств в таких областях, как, например, регрессионный или вариационный анализ, основаны на предположении о нормальном характере функции плотности. При больших значениях среднего нормальное распределение является хорошей аппроксимацией биноминального распределения. Функция плотности вероятности нормального закона имеет вид:

     

       - параметры нормального закона, ( - среднее значение, - дисперсия нормального распределения).

     Генератор нормально распределенной случайной величины X можно получить по формулам:

     

     где Tj (j=1,…,12) – значения независимых случайных величин, равномерно распределенных на интервале (0,1):  

     

 

     Рис. 10. График плотности вероятности имеет вид

       нормальной кривой (Гаусса) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

     3.1. Постановка задачи: «Моделирование телефонной  станции» 

     В системах телефонной связи представляют интерес модели следующего типа. Между  двумя большими городами А и Б  существует определенное число междугородных телефонных линий связи. Каждая линия может работать в обоих направлениях (то есть передавать сигналы, возникшие и в пункте А, и в пункте Б), но может передавать только один вызов за один раз (рис. 11). Человек в пункте А или Б хочет сделать звонок в другой город, при этом есть свободные линии, вызов немедленно передается по одной из линий. Если все n линий заняты, человек получает сигнал о том, что он должен повесить трубку и попробовать дозвониться позднее. Устройств, позволяющих подождать в очереди освобождения одной из линий, не существует, поэтому такие заблокированные звонящие попросту покидают систему. Время между попытками дозвониться из города А в город Б представлено экспоненциально распределенными величинами со средним значением 10 с.; а время между попытками дозвониться из города Б в город А представлено экспоненциально распределенными величинами со средним значением 12 с. Продолжительность разговора является экспоненциально распределенной величиной со средним значением 4 мин., независимо от того, из какого города сделан звонок. Изначально, все линии свободны. Моделирование выполняется для 12 ч. Вычислите среднее по времени число занятых линий, среднюю по времени часть занятых линий, общее число звонков (из каждого города), число заблокированных звонков и часть заблокированных звонков. Определите приблизительно, сколько нужно линий, чтобы блокировалось не более 5 %  звонков. 

     Упрощенная  схема системы моделирования: 

     

         Линия 1

        Линия 2 
 
 

        ******

       Линия n 
 
 

     Рис. 11. Система междугородных телефонных линий

     3.2. Описание метода  решения

     3.2.1. Описание метода  решения задачи  вручную 

     Каждая  задача имеет решение. Однако, любую  ли задачу можно решить вручную. Конечно, нет, ведь существуют и такие задачи, решение которых может потребовать изнурительных и трудоемких усилий, большого количества времени, сил, и при этом не получить достоверного ответа, из-за какой-либо малейшей ошибки. Следовательно, так как и наша задача относится к числу подобных, нам необходимо смоделировать работу АТС не в течение 12 часов, как дано в задаче, а гораздо меньшего периода времени, что значительно упростит работу и повысит эффективность моделирования.

     В курсовой работе при разработке модели работы АТС применены следующие виды распределения: равномерное и экспоненциальное. Найдем параметры нашей системы:                                  

                                                                                                                            Таблица 2

 

     Определим  время поступления звонков на АТС, которое имеет экспоненциальное распределение, и рассчитывается по следующей формуле:

     

     при этом для звонков  из А в Б :       λ=1/10 зв. /мин 

                       для звонков из  Б в А :       λ=1/12 зв. /мин 

     где – это случайные числа.

     Так, для получения случайных чисел  мы использовали функцию СЛЧИС в программном продукте Microsoft Excel. Данные генерации представлены в таблице 3:

     Таблица 3