Моделирование телефонной станции

     Методы  и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условно  разделить на аналитические и  имитационные.

     Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.

     В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких  задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

     Для простейшего потока частота поступления  требований в систему подчиняется  закону Пуассона, т.е. вероятность поступления  за время t ровно k требований задается формулой:

     

     Важная  характеристика СМО - время обслуживания требований в системе. Время обслуживания  одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории  и особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:

     F(t)=1e^-µt

     Т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется этой формулой, где µ - параметр экспоненциального обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная времени обслуживания t_об:

     µ=1/ t_об

     Рассмотрим  аналитические модели наиболее  распространенных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых  требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

     Общая постановка задачи  состоит в  следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

     В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований c параметром . Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

           В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

     Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

     Изучение  СМО начинается с анализа входящего  потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

     В большинстве случаев входящий поток  неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной  является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

     Среднее число требований, поступающих в  систему обслуживания за единицу  времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

     

     где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

     Для многих реальных процессов поток  требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

     Простейший  поток обладает такими важными свойствами:

• Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.
• Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.
• Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

     При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона: вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований: 

     

     где - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

     На  практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто  имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные  дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.

     Кроме того, наличие пуассоновского потока требований можно определить статистической обработкой данных о поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т.е.

     

     Одной из важнейших характеристик обслуживающих  устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования ( )- случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит как от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку. Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания.

     Показательный закон распределения времени  обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения  резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений.

     При показательном законе распределения  времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлится не более чем t, равна:

     

     где v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

     

,

     где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

     Следует заметить, что если закон распределения  времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:

     

     где n - количество обслуживающих устройств.

     Важным  параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.

     

 (2)

     где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления требований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

     Из (1) и (2) получаем, что:             

     Учитывая, что  - интенсивность поступления требований в систему в единицу времени, произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством. Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО) :

     

.

     В противном случае число поступающих  требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти. Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки : 

     

 
 
 
 

     

3.   Имитационное моделирование  СМО

 

     В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные трактовки:

• первая – под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;
• вторая – этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;
• третья – предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная , не вводится.

          Имитационное моделированием применяется  к процессам, в ход которых  может время от времени вмешиваться  человеческая воля. Человек, руководящий  операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или иные решения, подобно тому, как шахматист глядя  на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки, в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее текущее решение принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т. д.  В результате  многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучиваться принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные.

     Процесс последовательной разработки имитационной модели начинается с создания простой модели, которая затем постепенно усложняется в соответствии с требованиями, предъявляемыми решаемой проблемой. В процессе имитационного моделирования можно выделить следующие основные этапы:

1. Формирование проблемы: описание исследуемой проблемы и определение целей исследования.
2. Разработка модели: логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы.
3. Подготовка данных: идентификация, спецификация и сбор данных.
4. Трансляция модели: перевод модели на язык, приемлемый для используемой ЭВМ.
5. Верификация: установление правильности машинных программ.
6. Валидация: оценка требуемой точности и соответствие имитационной модели реальной системе.
7. Стратегическое и тактическое планирование: определение условий проведения машинного эксперимента с имитационной моделью.
8. Экспериментирование: прогон имитационной модели на ЭВМ для получения требуемой информации.
9. Анализ результатов: изучение результатов имитационного эксперимента для подготовки выводов и рекомендаций по решению проблемы.
10. Реализация и документирование: реализация рекомендаций, полученных на основе имитации, составление документации по модели и ее использованию.