Цифрова обробка моделі суміші сигналів на фоні завад в середовищі MATLAB

     Якщо  на НЦФ подать одиничний імпульс

,

те відповідно до  (1.1)  на виході повинна з'явитися  послідовність із (2N+1) відліків, що відповідають ваговим коефіцієнтам фільтра a_k .

      Очевидно, що ця послідовність кінцева, тому НЦФ має кінцевий імпульсний відгук і називається фільтром з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ - фільтром або FIR (finite impulse response) фільтром ).

     Якщо  на НЦФ подать дискретне гармонійне коливання:

,

      тоді  з (1.1) випливає

,

      звідки  передатна функція НЦФ

.

      Неважко перевірити, що - періодична з періодом функція частоти, тобто

      Таким чином, може бути представлена рядом Фур'є в частотній області,  причому коефіцієнти цього ряду визначаються співвідношенням:

.

      При розрахунках зручно оперувати парними  або непарними відносно коефіцієнтами . У цьому випадку спрощується вид передатної функції . Для парних передатна функція дійсна та складається із суми зважених косинусоїд:

,

а для  непарних - - уявна та складається із суми синусоїд:

      .

  Для визначення параметрів цифрового не рекурсивного ФНЧ за основу береться ідеальний ФНЧ. Ідея методу розрахунку зводиться до апроксимації ідеального ФНЧ, передатна функція якого має вигляд:

                                                        (2.2)

      де  w_c - частота зрізу (іноді її позначають і називають «верхня гранична частота»).

     Ця  передаточна функція H(jw) може бути періодизована з періодом , після чого також може бути представлена рядом Фур'є, що буде тим краще апроксимувати H(jw), чим більше доданків буде містити. Якщо ж таке розкладання «усікти», тобто залишити в ньому стільки складових, скільки коефіцієнтів фільтра ми хочемо обчислити, тоді результат такого усікання природно трактувати як H_д(jw). З'являється різниця між H(jw) і її апроксимацією H_д(jw). Одним з кількісних критеріїв такої різниці є метод найменших квадратів Гауса: середній квадрат різниці повинен бути мінімальним:

.

      Можна показати, що відповідно до цього критерію помилка апроксимації буде мінімальною, якщо вагові коефіцієнти шуканого фільтра  обчислювати як коефіцієнти Фур'є  розкладання в ряд періодизованої функції H(jw). З огляду на (1.2), можна записати для парних функцій :

            (2.3)

      Таким чином, коефіцієнт a_k (k = 0, ... ,N) залежить від відношення частоти зрізу до частоти дискретизації. Тому при розрахунках зручно використати відносну частоту зрізу

.

      У цьому випадку

,                                         (2.4)

      де  .

      Розрахунок  ФВЧ, СФ і РФ виконується на підставі теореми додавання перетворень  Фур'є.

     Як  відзначалося вище, найважливіший параметр, що визначає коефіцієнти не рекурсивного ФНЧ – це відношення . Інший не менш важливий параметр – порядок фільтра 2N. Виявляється, фіксуючи порядок фільтра , ми «автоматично» ставимо задачу про оптимальний у деякому сенсі виборі співвідношення між частотою дискретизації й частотою зрізу . Виходячи із цього, на практиці рекомендують вибирати «оптимальні» значення або .

      Джерела таких рекомендацій стають зрозумілими, якщо врахувати зв'язок між  й ІПХ неперервного (аналогового) фільтра:

,                                              (2.5)

.                 (2.6)

      Порівнюючи (2.6) і (2.4), дійдемо висновку, що , тобто з точністю до множника коефіцієнти цифрового фільтра збігаються зі значеннями ІПХ аналового фільтра, узятими в дискретні моменти часу .

2.2 Рекурсивні цифрові фільтри

     Вихідний  сигнал рекурсивного фільтра в кожен  момент часу залежить не тільки від  вхідних  сигналів,  але й від  вихідних  у попередні  моменти  часу. У загальному випадку рівняння РЦФ записують у вигляді:

                                    (2.7)

      Більше  із двох чисел M та  N визначає порядок фільтра.

     На  найпростіших прикладах можна показати, що ІПХ рекурсивного фільтра нескінченна, тому такий фільтр іменують IIR (infinite impulse response) фільтром. Дійсно, нехай рівняння РЦФ має вигляд:

.

      Подамо  на такий фільтр одиничний імпульс:

      Оскільки  в моменти часу, що передують  , фільтр не був збуджений, тобто , одержуємо:

      і т.д., тобто ІПХ триває нескінченно  довго.

      Для одержання передатної функції рекурсивного фільтра прийнято використовувати Z-перетворення: .

      Помножуючи на й піддаючи обидві частини рівняння (2.1)  Z-перетворенню, одержимо

.

      Оскільки  в рівнянні (2.1) прийнято

                            a_k = 0   при k<0  й k>N,

                                             b_k = 0    при k<0  й k>M,

     можна розширити границі підсумовування до :

     або

      Позначивши  m = (n - k), одержимо

     або в компактному виді

B(z) Y(z) = A(z) X(z),

      де A(z), B(z), X(z), Y(z) – Z-перетворення відповідних числових послідовностей.

      Звідси  треба, що Z-перетворення передатної функції  фільтра (тобто відношення  вихідної реакції до вхідного  впливу)  має вигляд: 

   (2.8) 

        Після підстановки в (2.2) одержимо передатну функцію в явному виді, тобто у вигляді залежності коефіцієнта передачі від частоти:

.

      Коефіцієнт  передачі - періодична функція частоти  з періодом .

В окремому випадку не рекурсивного фільтра

 

.

    Розрахунок (проектування) рекурсивних фільтрів істотно складніше розрахунку не рекурсивних  фільтрів. Існує  велика  кількість  різних  методик, однак багато з них розраховані на висококваліфікованих професіоналів в області фільтрації сигналів, знайомих як з методиками проектування аналогових фільтрів, так і з областю математичного аналізу, присвяченої перетворенням Лапласа, Z-перетворенням, теорії відрахувань. Найбільш простою і популярною є методика, що називається  «частотне перетворення».

    Сутність  цієї методики полягає в трансформації  передатної характеристики якогось ФНЧ, іменованого «ФНЧ - прототип», у передатну характеристику потрібного фільтра (НЧ, ВЧ, смугового, режекторного), з наступною заміною .

    Представимо таку методику у вигляді алгоритму:

    1) виходячи з вимог до якості проектованого фільтра (гладкість у смузі пропускання, фазова характеристика, припустимий рівень пульсацій у смугах пропускання й запирання), вибирають тип фільтра й порядок фільтра N. ФНЧ Баттерворта забезпечує максимально плоску характеристику в зоні пропуcкання, однак погано передає фронти прямокутних імпульсів. Крутість перехідної зони (зі смуги пропускання в смугу запирання) росте при збільшенні N.

      2) після вибору типу фільтра звертаються до однієї з таблиць фільтрів-прототипів, з яких вибирають числові значення коефіцієнтів і . До таких

таблиць «прив'язаний» також числовий параметр - відношення частоти дискретизації до частоти зрізу фільтра-прототипу. В літературі пропонуються таблиці для , що мають вид:

      Таблиця 1. Коефіцієнти для прототипів ФНЧ Баттерворта N-го порядку

 

     Розглядаючи таблиці, неважко помітити що, коефіцієнти  залежать також

 від  індексу  - номера каскаду. Справа в тому, що рекурсивні фільтри порядку N>2 прийнято одержувати шляхом послідовного з'єднання фільтрів 2-го порядку. Тому якщо передатна функція фільтра-прототипу 2-го порядку має вигляд:

,

то передаточна функція фільтра-прототипу більш вищого порядку виходить як

добуток передаточних характеристик P фільтрів:

.

3. виходячи з необхідного співвідношення  (при розрахунку НЧ або ВЧ фільтра) або необхідної пари співвідношень та ,  (при розрахунку смугового або режекторного  фільтра), заміняють змінну на функцію змінної , для чого використовують співвідношення з таблиці 2.

 
 
 
      

      

      Таблиця 2. Основні співвідношення

     4) отриманий аналітичний вираз  передатної характеристики  спрощують так, щоб у чисельнику та знаменнику виявилися поліноми від змінної .

     5) чисельник і знаменник функції  ділять на таке число, щоб виконувалася умова . Результуючі коефіцієнти в чисельнику й знаменнику (після такого нормування) і утворять шукані множини коефіцієнтів і .

     6) в аналітичному виразі для  роблять заміну , одержуючи в такий спосіб частотну характеристику синтезованого фільтра. АЧХ фільтра одержують як корінь квадратний із суми квадратів дійсної та уявної частин комплексної функції .У випадку, коли отримана АЧХ не влаштовує користувача,  роблять перерахунок коефіцієнтів для іншого типу фільтра або збільшують порядок фільтра.