Анализ и прогнозирование структуры ВВП

Задание 10

       Пусть структура зависимости  представляет линейную моделью в виде . Для случайной величины распределенной по нормальному закону плотность распределения имеет вид: 

       

- параметры  распределения  
 

-6466

4389,823529-6466*9509,470588= 1772,8

Необходимые для  расчетов данные представлены в таблице 9.

Тогда отсюда модель зависимости y от x будет иметь вид

1772,8+6446х

     Полученную  модель можно назвать как предсказывающее  уравнение. Подстановка в это  уравнение некоторого значения x позволяет  предсказать «истинное» среднее значение y для этого x. Аналогичные результаты можно получить и с использованием электронных таблиц  Microsoft  Excel. Результаты расчетов представлены ниже.

     

     Рис. 5. Статистические данные и подобранная  модель

      

     На  рисунке  5  представлены данные и  подобранная модель. Линия подобранная методом наименьших квадратов такова, что делает сумму квадратов всех вертикальных расхождений настолько малой, насколько это возможно.   

     Численное значение  параметра  показывает на  сколько единиц изменяется величина зависимой переменной y при увеличении независимой переменной x на единицу. В нашем случае при увеличении  ВВП в рыночных ценах на конец года на одну тысячу единиц, оплата труда наемным рабочим увеличивается в среднем на 1772,8 тыс. 

     Численное значение  параметра  , называемого также нулевым уровнем, показывает какое значение примет зависимая переменная у, в случае  когда независимая переменная x равна нулю. К интерпретации данного параметра надо подходить осторожно, поскольку в зависимости от условия задачи и полученных результатов он может иметь или не иметь явный физический смысл в терминах решаемой задачи. Что и наблюдается в нашем случае, когда при нулевом значении рыночных цен ввп, оплата труда наемным работникам составляет, согласно полученной модели 6446 тыс.

     После  определения  параметров модели следующим  этапом является анализ параметров     

     Задание 11

     Осуществить проверку значимости параметров уравнения  регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).  

     Выполнение  задания

     Проверка  значимости каждого коэффициента регрессии  осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

                                                                 

– дисперсия коэффициента регрессии, наиболее простая формула которого имеет вид:   

  – дисперсия результирующего  признака, 

k – число факторных признаков в уравнении связи.

          При проверке значимости коэффициентов регрессии на основе линейной парной зависимости дисперсия результирующего признака может быть вычислена следующим образом:  

где  – дисперсия факторного признака равна: 

а остаточная дисперсия находится по формуле: 

     Использовав все эти формулы, получим следующее:

= 43558607;

= 181202077;

= 0,003852391;

t_p = 1,04176681.

     Расчетное значение t-критерия Стьюдента сравнивается с критическим, которое определяется по таблице табулированных значений:

t_т = {* = 0,05; v = n – k – 1},

где * – это уровень значимости  критерия  проверки  гипотезы  о равенстве нулю параметров уравнения регрессии;

      v – число степеней свободы, которое характеризует количество свободно варьируемых параметров совокупности;

     k – количество параметров в уравнении регрессии.

     t_т = 1,761;

     t_p = 1,04176,681.

     Так как, расчетное значение t-критерия Стьюдента по модулю превышает табличное, то коэффициент регрессии признается значимым.

     Задание 12

     Проверить адекватности  модели регрессии. Вычислить  коэффициент детерминации, проверить  значимость уравнения регрессии  с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.  

     Выполнение  задания

1. Коэффициент детерминации вычисляется по формуле:

 

D = 812776 / 7404920,6 = 0,0110

     В  случае  линейной  зависимости  он  показывает,  какая  часть  общей дисперсии объясняется за счет вариации линейной комбинации независимых переменных  x₁, x₂ ,..., x_n  при данных коэффициентах a₀, a₁ ,..., a_n регрессии. 

     D = 0,0110, т.е. 1,1% вариации объясняется факторами, включенными в уравнение регрессии, а 99,9% вариации объясняется прочими, не включенными в модель факторами.

     б)  По критерию Фишера оценке качества всей модели: 
 

F_p = 565,6976

F_t = 1,97

     F_p  >  F_t →  гипотеза  о  заложенных  в  уравнении  регрессии  связях

принимается.

     Средняя  относительная ошибка аппроксимации 

     Рассчитаем  среднюю  арифметическую  величину  относительной ошибки аппроксимации  для каждой модели по формуле: 
 

     Получено: E_отн = 5,18%

     Учитывая  коэффициент детерминации, можно  сделать вывод о том, что большая  часть общей дисперсии объясняется  за счет вариации  нелинейной комбинации независимой переменной X при данных коэффициентах регрессии. 

     F-критерий Фишера (α = 0,05) говорит об отсутствии связей или о присутствии слабо выраженной связи в уравнении регрессии, что  свидетельствует  о  малой значимости  полученного  уравнения  регрессии.  Средняя  относительная  ошибка аппроксимации (5,18%) достаточно мала, что говорит о достаточно высоком качестве  построенной модели.   

     Задание №13

     Дать сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с

помощью коэффициентов эластичности. 

     Выполнение  задания

  Дадим сравнительную оценку силы связи фактора с результатом с помощью коэффициента эластичности. 

     Для  нахождения  средних  по  совокупности  показателей  эластичности получаем формулу: 

Э_yx1 = 6446 · · 100% = 7,778%

     Коэффициент эластичности показывает, что с ростом ВВП в рыночных ценах  на 1% средняя заработная плата наёмных работников увеличится на 7,778%. Коэффициент эластичности  указывают на  наличие значительной связи фактора с результатом.

     Задание №14

     Выполнить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.  

     Выполнение  задания

     Из  вышеприведённых расчётов нам известно, что:

     ȳ = ;

     x_max = 32987;

     а₀ = 1772,8;

     а₁ = 6446;

     Тогда модель среднего прогнозного значения показателя Y при уровне значимости * = 0,1, и прогнозном значении фактора X равном 80% от его максимального значения, будет выглядеть следующим образом:

Ȳ_пр = а₀ + а₁ · x_max · 80%

ȳ_пр = 1772,8+ 6446 · 32987· 0,8 = 170109134. 

     Задание №15

     Оценить точность уравнения через среднюю  относительную ошибку аппроксимации.  

     Выполнение  задания

     Чем меньше рассеивание  уровней  ряда вокруг регрессии, тем меньше ошибка аппроксимации. Если ошибка аппроксимации меньше или равна 7% – то модель считается хорошей.

       В нашем случае при  E_отн  = 5,18%, модель регрессии можно считать

соответствует  высокой точности оценки.  

     Задание №16

     Рассчитать  ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α = 0,05; α = 0,1).  

     Выполнение  задания

     Рассчитаем  ошибки  и  доверительный  интервал  прогноза  для  уровня значимости 5 % (α = 0,05).

     Ошибка  прогноза  – это величина,  характеризующая  расхождение фактического значения (исходных данных) от прогнозного показателя.

                                                          ∆t = ŷ_t – y_t 

где ŷ_t – это расчётное значение;

      y_t – фактическое.

1. Средняя абсолютная ошибка прогноза (MAD)

 

Для построенной линейной модели:

∆ =  3,6579.

2. Относительная  процентная ошибка

 

3. Средняя абсолютная процентная ошибка (МAPE)

 

     Для исследуемой линейной модели:

     МAPE = 0,008183

     МAPE < 10%. Это свидетельствует о высокой точности обеих моделей.

4. Для  проведения  сравнительной  оценки  нескольких  моделей используется средняя процентная ошибка (MPE)

100

Для модели:  MPE = 2,472

5. Иногда для оценки моделей используются следующие два показателя –  сумма    квадратов  ошибок  (SSE)  и  усреднённое  значение квадратов  ошибок (MSE)

 
 

Для модели:

     SSE = 975,017;

     MSE = 56,589.

     Для расчёта доверительного интервала  используют выражение: 

     где – это СКО исследуемого тренда, которое можно найти по формуле: