Анализ и прогнозирование структуры ВВП

 

     Разница в результатах  t-критерия Стьюдента  и критерия серий объясняется их различной чувствительностью. 
 
 
 
 

     Задание 3

     Сглаживание временного ряда используется для удаления из него высокочастотных компонент (которые обычно являются несущественными, так как вызваны случайными факторами). Один из простейших методов сглаживания - метод скользящих или подвижных средних (MA в англоязычной нотации), он является одним из наиболее старых и широко известных. Этот метод основан на переходе от начальных значений временного ряда к их средним значениям на некотором заданном интервале времени (длина которого называется шириной окна). Этот интервал времени как бы скользит вдоль ряда, с чем и связано название метода Полученный в результате такого сглаживания новый временной ряд обычно ведет себя более регулярно (гладко), что связано с удалением в процессе сглаживания резких случайных отклонений, попадающих в окно. Сглаживание полезно применять даже в самом начале исследования временного ряда, так как при этом часто удается прояснить вопрос о наличии и характере тренда, а также выявить сезонные колебания.   
     Несколько слов нужно сказать о сезонных колебаниях. Они проявляются во многих временных рядах, в частности, в экономике, метеорологии. Сезонными колебаниями называют все такие изменения, которые соответствуют определенному (почти) строго периодическому ритму (не обязательно равному одному году, как для обычных сезонов). Такая периодичность может ярко проявляться в процессах человеческой деятельности. Но наиболее типичные сезонные колебания связаны именно со сменой сезонов года. Они затрагивают огромное число параметров жизни человека (как современного, так и в древности). Обычно при исследовании временных рядов стремятся выделить сезонные колебания для того, чтобы их изолировать и изучить   другие, более сложные периодические компоненты.

     Алгоритм  сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен  в виде следующей последовательности шагов. Определяют длину интервала сглаживания l, включающего в себя l последовательных уровней ряда (l < n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

     Разбивают весь период наблюдений на участки, при  этом интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным l. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения. При этом удобно брать длину интервала сглаживания l в виде нечетного числа l = 2р + 1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

     Наблюдения, которые берутся для расчета  среднего значения, называются активным участком сглаживания.

     При нечетном значении l = 2р + 1 все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

     

     где y_t -  центральный уровень активного участка;

      , -  последовательность из р уровней активного участка, предшествующих центральному; 

       -  последовательность из р уровней активного участка, следующих за центральным. 

     Тогда скользящая средняя может быть определена по формуле:

     

     где   y_i - фактическое значение i-го уровня; 

     )  - значение скользящей средней в момент t; 

     2р  + 1 — длина интервала сглаживания.

     При реализации простой скользящей средней  выравнивание на каждом активном участке  проводится по прямой (по полиному первого  порядка). Таким образом, осуществляется аппроксимация неслучайной составляющей с помощью линейной функции времени:

     Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, но при этом не будет выполняться условие нечетности. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

     

     Тогда для сглаживания сезонных колебаний  при работе с временными рядами квартальной  или месячной динамики можно использовать 4-  и 12-членную скользящую среднюю:

     

     В первой формуле  каждый активный участок  содержит 5 уровней, во второй  -  13, при этом крайние уровни имеют  половинные весовые коэффициенты. Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Если для о процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям.

     Проведем  простое сглаживание скользящей средней при интервале сглаживания  l=3, l=5, l=7 для исходных данных, представленных в таблице 1.

     Результаты  поместим в таблицу 5. 

     Результаты  простого сглаживания скользящей средней  ВВП рыночных цен для l=3, l=5, l=7.

     Графическое изображение результатов простого сглаживания скользящей средней представлены на рисунке 2.

     

     Рис.2. Результатов простого сглаживания  скользящей средней

     для l=3, l=5, l=7. 

     Задание 5

       Основной формой представления  информации о динамике экономических показателей являются временные ряды наблюдений. Временной ряд, состоящий из N уровней Y(1), Y(2), ..., Y(N) зависит только одной функции - времени.

     Формально задача прогнозирования сводится к  получению оценок значений ряда на некотором периоде будущего, то есть к получению значений Yp(t) в момент времени t = N+1, N+2,... Простейшим способом прогнозирования является подход от фактически достигнутого уровня Y(N) при помощи среднего абсолютного прироста (САП), в соответствии с которым прогноз k-шагов вперед на момент времени t = N + k получается по формуле:

     

     Этот  способ является привлекательным из-за простоты и легкости реализации. Однако он имеет  существенные недостатки, один из которых  невозможность сформировать интервал, внутрь, которого попадает прогнозируемая величина, и указать степень надежности в этом. Статистические методы прогнозирования исходят из предложения о возможности представления уровней временного ряда в виде суммы компонент, отражающих закономерность и случайность развития:

     

     где f(t)-тренд (долговременная тенденция) развития;

     E(t) - остаточная компонента.

     Основная  цель статистического анализа временных  рядов - изучение соотношения закономерности и случайности в формирование уровней ряда с оценкой количественной меры их влияния. Формирование уровней ряда определяется закономерностями трех типов: тенденций среднего, тенденцией взаимосвязи между последовательными  уровнями ряда и тенденцией взаимосвязи между исследуемым показателем и факторами, оказывающими на него воздействие.

     Соответственно  различают задачи анализа и моделирования  тенденций, причинных взаимодействий между последовательными уровнями ряда, причинных взаимодействий между исследуемым показателем и факторами.

     Первая  из них решается с помощью моделей  кривых роста, вторая с помощью адаптивных моделей, третья  –  на основе эконометрического  моделирования, базирующегося на методах корреляционно-регрессионного анализа. Для отражения тенденций изменения исследуемого показателя в моделях кривых роста используются разнообразные математические функции, в которых задействован только один фактор – время. Из большого числа кривых роста можно воспользоваться  простейшей линейной моделью вида:

     

     Таблица 6

     Расчётные данные к МНК