Якщо  кількість значень парна, то медіана  як середньоарифметична двох центральних  значень.

      5 4 5 2 3 4 5 3 – Медіана 2,5

      Для кількісних неперервних знаходимо  медіальний інтервал, а потім визначаємо значення медіани. 

      Середнє значення (“х” з  горизональної палочкою зверху) – найбільш поширена центральна тенденція для кількісної змінної. Сума всіх значень ділиться на кількість

      4 2 3 – Середнє значення 3,33

      Властивості

• Якщо скласти  результат віднімання від відхилень  середнього арифмитичного, то сума = 0.

              3 5 7 9 – середнє  значення 24/4= 6

              3 – 6 = -3

              5 – 6 = -1

              7 – 6 = 1

              9 – 6 = 3

              (-3) + (-1) + 1 + 3 = 0

• Сума квадратів відхиленн всіх змінних від середнього менша суми квардатів відхилення від будь-якого іншого значення. Помилка обумовлена як сума квадратів відхилень, завжди мінімальна.

      Зауваження

      До  вибору міри центральної тенденції

• Якщо розподіл – унімодальний і симетричний, то медіана, мода і середнє значення співпадають
• На медіану не впливає дуже великі та дуже малі значення змінної
• На середнє значення впливають всі значення
• У випадку бімодального розподілу центральної тенденції може не існувати взагалі
• У певних вибірках значення моди не стабільне.

 

      Розмір  варіації дає уявлення про діапазаон

      R = max – min

      Квантові  варіації поділяють весь діапазон значень змінної певної групи з відповідним пропорціями

• Квартиль
• Квітель
• Децель
• Перцептель

      Лінія - впорядкований кількісний розподіл вибірки (1,1,2,3,4,5,6,7,8,8,9,10...)  

                                      Median  

      |---------------||---------------|---------------||----------------|

      min            Q1                                 Q2               max 

                       25%                               75%

      <--------------------------------range------------------------>  

                         <--------Q-range-----------> 

      Q1- upper quartile (верхній квартиль)

      Q1- lower quartile (нижній квартиль)

      range (розмах; повний діапазон) = max - min

      quartile range (квартильний розмах) = Q2-Q1 -тобто, 50% вибірки навколо медіани

      percentile (перцентиль; "відсоткове значення") - будь-який відсоток на лінії,  і відповідно значення яке  в цьому "місці" (напр, Q1=Percentile-25%, Q2=Percentile-75%, Median=Percentile-50% і т.д.)

      Дисперсія – описує неоднорідність всіх значень вибірки. Показує наскільки розсіяними є дані віднос середнього арифметичного.

        

       n ≥100

       n<100

      Стандартне  відхилення вимірює в тих самих одиницях, що ми вимиріюємо змінну.

      Сигма = усереднене відхилення від середнього значення

      σ мала – згутрування навколо середного  значення

      σ велика – неоднорідні дані і тим  сильніше розкидані. 

      Використання  стандартного відхилення можна порівняти міри розсіювання різних змінних, або однієї змінної для різних сукупностей

      Показник  за допомогою якого ми будмео вимірювати – коефіцієнт варіації

        

      Приклад

      Нехай ми обчислюємо середнє значення та стандартне відхилення тривалості ситрат часу на вачання

 

      Порівняти всі чотири групи за формулою σ/х×100%

      Соціологія = 2/6 100% = 33%

      Політологія= 4/3,5 100% = 114%

      Психологія = 4/4,5 100% = 88%

      Історичний 6/6 100% = 100%

      Чим нище значення – однорідне

      Чим вище значення – неоднорідне 

      А- коефіцієнт асиметрії (симетрчний розподіл значень знмінних)

      А = 0 – розподіл симетричний, Медіана=Моді=Середньому значенню

      А > 0 - правостороння ассиметрія (Медіана<Моди<Середнього значення)

      А<0 – лівостороння ассиметрія (Медіана>Моди>Середнього значення) 

      Е – коефіцієнт крутизни розподілу

      Е = 0 – розподівл співпадає з  нормальний

      Е>0 – більш гострий розподіл

      Е<0 – більш пологий розподіл 

      Задача оцінки невідомих величин

      Теоритичні  криві розподілу

      Функція розподілу ймовірності

      (вибачте,  але тут графік. Будується за  наступним принципом. На осі Х у нас оцінки від 2 до 5, на осі У у нас ймовірність потрапляння. Відповідно до табличних даних будуємо лінію)

      Неперервні змінні

      Не  можливо визначити ймовірність  певного значення, лише визначається ймовірність того, що потрапить в  певний інтевал.

      Щільність ймовірності

      

      -∞  до х₁ = 0

      х₂ до +∞ = 0

      S = x₁ + x₂ 

      Наприклад, х – час виступу, змінна яка  описує час доповіді на ВР. Зазвичай доповідь від 8 до 12 хвилин. Рівна ймовіність потапити на інтевали рівної довжини.

      

      Правило 2 або 3 сігм

      Якщо  від точки середнього значення відкласти  праворуч або ліворчу 2 або 3 стандартних  відхилення, то площа під графіком функції цільності ймовірності  обчислена за цим інтевалом буе  дорівнювати

      2σ  = 94,45

      3σ  = 99,73

      (не  питайте як) 

      68% спотережнень в межах +-1 стандартне  відхилення від середнього значення

      За  межами 32% спостережнь

      95% потрапить в +-3 стандартного відхилення  від стандартного значення.

      Якщо  середнє значення = 0, а середнє  відхилення = 1 – це стандартне нормально розподілення

      Якщо  узагальтати отриманий для вибірки  для всієї генеральної сукупності, то викорстовуємо метод індуктивної  статистики.

      Все, до цього дискритивна статистика – дослідження вибіркового значення.

      Оцінювання

      Перехід від числових характеристик вибірки до числових характеристик генеральної сукупності.

      Інтервальна оцінка – числовий інтевал, який з заданого імовірністю потрапляє в невідоме значення параметру.

      Довірчий  інтервал – числовий інтрвал.

      Довірча імовірність – імовірність, з  якою потрапить в цей інтервал.

      Довірчий  інтервал залежить від 2 параметрів:

• Величина вибірки
• Значення довірчої імовріності

      Довірчий  інтервал зменшується зі збільшенням  розміру вибірки.

      Величина  збільшується, коли значення довірчої імовірності найближається до 1.

      Алгорит побудови довірчого інтевалу

1. Випадок. Дисперсія (σ²) – генеральної сукупності відома.
2. Випадок. Дисперсія не відома.

 

1. Перевторюємо  змінну Х у випадкову величину з стандартним нормальни розподілом. – Z – нормальна величина з нормальним розподілом.

                       

      За  вибіркою визначили точне значення середнього вибіркового, а оцінити  треба середнє генеральної сукупності (а), тобто середню кількість голосів  по Україні

        

        

      Граничні  точки позначаємо Z та –Z

      Те, що знаходиться в середині між Z та –Z називається область допустимих значень

      Область після Z та –Z  - називається критичною  областю (α)

      Довірча імовірність = 0,9454

      S = 1 (загальна Площа всього графіку)

      α = 1 – 0,9454 = 0,465

      α – рівень значимості/критична область

      1 = Р_{довірча} + α – Р_{довірча} – імовірніст потрапити в довірчий інтервал. 

      Статистика  – імовірнісний калькулятор –  для знаходження Z α/2 та -Z α/2 вводимо  середнє значення стандартного відхилення та Р

      Р_{довірче} ( ) = 0,95

      Р(10,5≤α≤12,7) = 0,97 

2. Дисперсія не відома

Розподіл  Стьюдента використовуємо для знаходження  граничних значень. Розподіл Стьюдента  залежить від (Т):

• кількості степенів свободи – df= n-1

      За  результатами телеопитування 1064 мешкаців у віці від 18  і більше років  проведеного центром Разумкова, 19-20 березня 2008 року. Кандидати у  мери Черновецького підтримують 24.9%

1. Знайти границі в яких з .... 0,95% потрапить рейтинг Черновецького при голосуванні всіх мешканців міста
2. Визначити скільки респондентів потрбіно опитати щоб отримати надійність 0,99%