Залежність прискорення вільного падіння від широти місцевості

                                                                                                 (5)

Рис.1

Мета роботи полягає, таким  чином, в тому, щоб встановити на досліді рівноприскорений характер руху (пропорційність S і t₂), визначити те, що входить в (5) прискорення, і вичислити з його допомогою, по формулі (4) прискорення вільного падіння. [10]

 

2.3 Задачі із застосуванням значення прискорення вільного падіння

Задача № 1

Камінь кинули вертикально  вгору із швидкістю 10 м/с. На яку висоту підніметься камінь?[4]

Рішення.

По усіх відомих нам  вже ознакам, ми маємо справу з  прямолінійним рівноприскореним рухом, який відбувається з прискоренням вільного падіння g = 9,8 . Цими ознаками є слова "кинули" (означає ПАДАЄ) і "вертикально" (означає по прямій). Прямолінійний рівноприскорений рух описується двома формулами v = v₀ + a*t;  Ds = v₀*t + ^.

Дуже важливо розібратися  з усіма ключовими поняттями  завдання, які явно або не явно є  присутніми в її умові. "Кинули зі швидкістю" означає що початкова  швидкість рівна v₀ = 10 . "Підніметься на висоту" означає, що долетить до верхньої точки, де зупиниться (на якусь мить, перш ніж почати падати назад вниз, але нас це зараз не цікавить). "Верхня точка" означає точку у якій тіло зупиняється, тобто в якій швидкість тіла стає дорівнює нулю: v = 0. "Висота" означає тут переміщення тіла від нижньої точки до верхньої: Н = АВ =Ds.

Тепер треба визначити, чи є у нас векторні величини? Є: це початкова швидкість переміщення  і прискорення. Раз є векторні величини, треба вибрати напрям позитивних значень. Направимо вісь вгору. Тоді початкова швидкість і переміщення  будуть спрямовані уздовж осі, а прискорення  проти. Значить, прискорення треба  брати зі знаком "-" : а = - g = - 9,8 .

Тепер можна робити підстановку. Проте для різноманітності, доки не підставлятимемо числа (окрім  нулів), а використовуємо буквені  позначення. Тоді отримуємо:

0 = v₀ – g*t;        H = v₀ *t – .

Виражаємо з першої формули  час: t = v₀ /g, і підставляємо його в другу формулу. Отримаємо, H = v₀ *t – ^{; Н= v}₀* _{- g ^{; Н= v}0}²/(2*g). Цю формулу варто запам'ятати. Ми довели, що якщо тіло кинути вертикально вгору з початковою швидкістю v₀, то він підніметься на висоту H = v₀²/(2g),  якщо не враховувати опір повітря. Тепер підставимо числа і знайдемо шукану висоту:

H = (10 )²/(2· 9,8) = 5 м.

Задача №2

Плавець, сплигнувши з п'ятиметрової  вишки, занурився у воду на глибину 2 м. Скільки часу і з яким прискоренням він рухався у воді?

Рішення.

Тілом в цьому завданні є плавець. Навряд чи його можна вважати  в таких  умовах матеріальною точкою. І сам процес стрибка : розгін поштовх, політ - не занадто схожий на вільній падіння. Проте в запропонованих нам умовах у нас немає іншого способу вирішити завдання. Ми змушені складний реальний процес стрибка і занурення плавця у воду замінити простою моделлю - вільним падінням матеріальної точки, яка, потрапивши у воду, поступово зупиняється. Комусь ця модель може здатися занадто грубою. Але в житті, в техніці, в науці, модель (навіть на вигляд найгрубіша) може вважатися цілком задовільною, якщо її розрахункові дані укладаються в погрішності які нас задовольняють.

Отже, аналізуємо запропоновану  нам фізичну ситуацію, виходячи з  найпростіших представлень, і одночасно  малюємо креслення.  У цій ситуації є дві ділянки руху : перша ділянка руху проходить в повітрі, другий - у воді.

З точки А без початкової швидкості почало падати тіло. Не враховуючи опір повітря, можна сказати що рух  тіла буде прямолінійним і рівноприскореним з прискоренням g, яке спрямоване вниз до води. За проміжок часу Dt₁ тіло вчинить переміщення

DS₁ = АВ= Н - висоті, з якою падало тіло. На цій ділянці руху тіло придбає швидкість v_к - кінцеву швидкість руху на першій ділянці.

Друга ділянка руху починається  в точці В. В цій точці тіло мало швидкість v_к. Значить, ця ж сама швидкість (кінцева швидкість першої ділянки) є початковою швидкістю для другого: v_к = v_н. Переміщення, що здійснюється тілом на другій ділянці руху DS₂ = ВС = L, відбувається за проміжок часу Dt₂. За цей час тіло поступово зупиняється, знижуючи швидкість до нуля. Кінцева швидкість на другій ділянці v = 0. Раз швидкість зменшується, отже, прискорення перешкоджає її збільшенню, тобто прискорення спрямоване проти швидкості. Якщо у нас швидкість спрямована вниз, то тоді прискорення руху на другій ділянці спрямоване вгору. Причому його чисельне значення ніяк не може співпадати зі значенням прискорення вільного падіння, адже на тіло тепер діє вода. Саме вона примушує тіло зупинятися (а потім спливати).

На обох ділянках рух прямолінійний  і рівноприскорений. На першій ділянці  відбувається ПАДІННЯ, а на другій ділянці  треба знайти прискорення, що говорить про те, що воно не міняється.

Тоді, ми повинні двічі - для  кожної ділянки окремо - написати формули  рівноприскореного руху.  Пишемо.

 Для першої ділянки  руху :

v_к = 0 + g*Dt₁;     H = g· Dt₁²/2.

Для другої ділянки руху :

0 = v_н – a* Dt₂;          L = v_н* D t₂ – a*Dt₂²/2.

Проведемо обчислення

5 = 10* D t₁²/2;    D t₁² = 1;   Þ   D t₁ = 1 с;   Þ   v_к = 10* 1;  Þ  v_н = v_к = 10 м/с.

Використовуючи рівняння руху на першій ділянці, ми визначили  значення швидкості, яка є початковою для руху на другій ділянці. Тепер  треба розглянути інші два рівняння. Підставимо числа в них.

0 = 10 – a* D t₂;              2 = 10* D t₂ – a* D t₂²/2.

Це два рівняння з двома  невідомими. Така система вирішується  стандартним методом: з простого рівняння виражається одна невідома і підставляється в складне, яке  після цього перетворюється на формулу  з однією буквою.

Виразимо D t₂.

D t₂ = 10/а;     Þ 2 = 10*(10/а) – а*(10/а)²/2;   Þ 2 = 100/а - 50/а;  Þ   2 = 50/а;   Þ 

а = 25 м/с².

Тоді залишилося знайти час     D t₂ = 10/а = 10/25 = 0,4 с.

 

Задача №3

З ГАРМАТИ НА МІСЯЦЬ [12]

У 1865 - 1870 рр. з'явився у Франції фантастичний роман Жюля Верна "З гармати  на місяць", в якому висловлена надзвичайна думка: послати на місяць велетенський гарматний снаряд-вагон з живими людьми! Жюль Верн представив свій проект в такому правдоподібному виді що у більшості читачів, напевно, виникало питання: чи не можна насправді здійснити цю думку? Про це цікаво поговорити [Тепер, після запуску штучних супутників Землі і космічних ракет, ми можемо сказати що для космічних подорожей використовуватимуться ракети, а не снаряди. Проте рух ракети, після того, як спрацював її останній ступінь, підкоряється тим же законам, що і рух артилерійського снаряда. Тому текст автора не застарів.].

Спочатку розглянемо, чи можна - хоч  би теоретично - вистрілити з гармати  так, щоб снаряд ніколи не впав назад, на Землю. Теорія допускає таку можливість. Насправді, чому снаряд, горизонтально  викинутий гарматою, врешті-решт падає  на Землю? Тому що Земля притягуючи снаряд, викривляє його шлях: він  летить не по прямій лінії, а по кривій, спрямованій до Землі, і тому рано чи пізно зустрічається з грунтом. Земна поверхня, правда, теж викривлена, але шлях снаряда згинається набагато крутіше. Якщо ж кривизну шляху снаряда  ослабити і зробити її однаковій  з викривленням поверхні земної кулі, то такий снаряд ніколи не зможе  впасти на Землю! Він рухатиметься по кривій, концентричній з колом  земної кулі; іншими словами, зробиться  його супутником як би другим місяцем.

Але як добитися, щоб снаряд, викинутий  гарматою, йшов по шляху, менш викривленому, чим земна поверхня? Для цього  необхідно тільки повідомити йому достатню швидкість.

Зверніть увагу на мал. 25, зображуючий  розріз частини земної кулі.

На горі заввишки якою нехтуватимемо, в точці A стоїть гармата. Снаряд, горизонтально  викинутий нею, був би через секунду  в точці B, якби не існувало тяжіння  Землі. Але тяжіння міняє справу, і під дією цієї сили снаряд через  секунду позначиться не в точці B а на 5 м нижче, в точці C. П'ять  метрів - це шлях, прохідний (у порожнечі) кожним тілом, що вільно падає, в першу  секунду під дією сили тяжіння  біля поверхні Землі. Якщо, опустившись  на ці                    5 м,    снаряд наш виявиться над рівнем Землі рівно настільки ж наскільки був він в точці A, то, значить, він рухається по кривій, концентричній з колом земної кулі.

Залишається вичислити відрізок АВ (мал. 25), той шлях, який проходить  снаряд в секунду по горизонтальному  напряму; ми дізнаємося тоді, з якою секундною швидкістю треба для  нашої мети викинути снаряд з жерла  гармати. Вичислити це, неважко з  трикутника АОВ у якому ОА - радіус земної кулі (близько 6 370 000 м); ОС = ОА, ВС = 5 м; отже, 0В = 6 370 005 м. Звідси по теоремі  Піфагора маємо: (AB) ² = (6 370 005) ² - (6 370 000) ².

Зробивши обчислення, знаходимо, що шлях AB дорівнює приблизно 8 км. Отже, якби не було повітря який сильно заважає  швидкому руху, снаряд, викинутий горизонтально  з гармати із швидкістю 8 км/сек, ніколи не впав би на Землю, а вічно крутився б навколо неї, подібно до супутника.

А якщо викинути снаряд з гармати  з ще більшою швидкістю, - куди полетить він?  У небесній механіці доводиться, що при швидкості в 8, 9, навіть 10км/сек снаряд, вилетівши з жерла гармати,  

повинен описувати навколо  земної кулі еліпс тим більше витягнутий, чим більше початкова швидкість. При швидкості ж снаряда 11,2 км/сек він замість еліпса опише вже незамкнуту криву - параболу, назавжди віддаляючись від Землі (мал. 26).

                   

Задача № 4

З аеростата, що знаходиться  на висоті h = 300 м, впав камінь. Через який час t камінь досягне землі, якщо: а) аеростат піднімається із швидкістю v = 5 м/с; б) аеростат опускається із швидкістю v = 5 м/с; в) аеростат нерухомий? [8]

Рішення: 

Вирішуємо задачу відносно нерухомої системи відліку - землі. Тоді швидкість каменю в початковий момент часу відносно землі v_0ТН дорівнює сумі швидкостей : каменю відносно аеростата V_ОТН = 0 і швидкості v аеростата відносно землі, тобто v_от=0 + v.

Таким чином при t =0 швидкість каменю дорівнює швидкості аеростата. У  перший момент часу камінь, маючи початкову  швидкість V, полетить вгору і за час t₁ підніметься на висоту  - (1). Зупинившись у верхній точці, він полетить вниз і за час t₂ здолає відстань   (2). Загальний час t= t₁+ t₂ - (3). При русі вгору швидкість v=g*t₁, звідки t₁=v/g(4). Підставивши (4) в (1), отримаємо .  Перетворимо рівняння (2) :  .  Звідси   - (5). Підставивши (4) і (5) в (3),

отримаємо    ;     t=8,4

 

Висновки

Численні спостереження  і досліди переконують на у  тому, що всі тіла падають на землю  внаслідок дії сили тяжіння. Як що тіло кинути вертикально вгору, воно все одно з часом впаде на землю: спочатку його швидкість зменшуватиметься, а згодом воно почне рухатись униз зі зростаючою швидкістю. Аналіз характеру  руху тіла, що падає, показує, що цей  рух рівно прискорений, тобто  за рівні інтервали часу тіло проходить  різні відстані, при чому вони весь час пропорційно збільшуються. Вільне падіння – це рівноприскорений рух тіл під дією сили тяжіння без інших сторонніх впливів на них (опір повітря, електромагнітна взаємодія тощо). Вільне падіння тіл відбувається не лише на Землі внаслідок притягання нею всіх тіл, а притаманне й іншим планетам, Сонцю, Місяцю тощо. Проте прискорення вільного падіння у них, звичайно ж, різне.

Видатний італійський фізик Галілео Галілей, вивчаючи рух тіл похилим жолобом, установив, що кулі однакового діаметра, виготовлені з деревини, заліза, слонової кістки то що, мають однакове прискорення, яке не залежить від маси куль. Збільшуючи кут нахилу, він дійшов висновку, що значення прискорення при цьому збільшується, але залишається однаковим для всіх тіл, незалежно від їх маси. Для підтвердження цього висновку вчений провів свій відомий дослід з гарматним ядром і мушкетною кулею, кидаючи їх з похилої Пізанської вежі (мал. 1.34): обидва тіла досягали землі одночасно. Таким чином Г. Галілей експериментально встановив, що прискорення вільного падіння не залежить від маси тіл і є сталою величиною для кожної планети.

На земній кулі усі тіла падають з одним і тим же постійним прискоренням. Це прискорення означають буквою g. В різних точках земної кулі (на різних широтах) числове значення g виявляється неоднаковим, змінюючись приблизно від 9,83 м/с² на полюсі до 9,78 м/с² на екваторі. На широті Москви g=9,81523 м/с². Значення g, рівне 9,80665 м/с, що відповідає 45° широт, умовно приймається за "нормальне". Внаслідок обертання Землі на ній також повинна спостерігатися відцентрова сила інерції, центробіжне прискорення на екваторі дорівнює 0,034 м/с². Це складає приблизно 1/300 частина прискорення вільного падіння g. Значить, на тіло маси т, що знаходиться на екваторі, діє відцентрова сила інерції, рівна m*g/300 і направлена від центру, тобто по вертикалі вгору. Ця сила зменшує вагу тіла в порівнянні з силою тяжіння Землі на 1/300 частина. Оскільки на полюсі відцентрова сила інерції дорівнює нулю  то при перенесенні тіла з полюса на екватор воно "втратить" внаслідок обертання Землі 1/300 частина своєї ваги. [2] Усі ці числа відносяться до руху тіла на рівні моря . Реальне прискорення вільного падіння на поверхні Землі може бути вичислене по емпіричній формулі:

Де  φ - широта даного місця, h - висота над рівнем моря.

Прискорення вільного падіння  складається з двох доданків: гравітаційного прискорення і доцентрового прискорення. Значення гравітаційного прискорення  на поверхні планети можна приблизно  підрахувати, представивши планету  точковою масою M, і вичисливши гравітаційне прискорення на відстані її радіусу R :      

Оскільки сила тяжіння визначається добуток маси тіла на прискорення вільного падіння, то, значить, її модуль також залежить від усіх перерахованих параметрів.

1. Модуль сили тяжіння в загальному випадку не дорівнює силі гравітаційної взаємодії тіла і Землі.

2. Модуль прискорення вільного падіння залежить від маси і середнього радіусу Землі, а також від кутової швидкості і її добового обертання і широти місцевості.