Залежність прискорення вільного падіння від широти місцевості

- неточністю формули через  те, що маса планети розподілена  за об'ємом який має не кулясту  форму;

- неоднорідністю Землі,  що використовується для пошуку  корисних копалини по гравітаційних  аномаліях. [11]

Гравітаційне прискорення  на різній висоті h над Землею
h, км	g, м/с2	h, км	g, м/с2
0	9.8066	20	9.7452
1	9.8036	50	9.6542
2	9.8005	80	9.5644
3	9.7974	100	9.505
4	9.7943	120	9.447
5	9.7912	500	8.45
6	9.7882	1000	7.36
8	9.7820	10 000	1.50
10	9.7759	50 000	0.125
15	9.7605	400 000	0.0025

Прискорення вільного падіння для  деяких міст
Місто	Географічні координати (по Грінвічу)		Висота над рівнем моря, м	Прискорення вільного падіння, м/с2
	Довгота	Широта
Будапешт	19,06 с.д.	47,48 п.ш.	108	9,80852
Вашингтон	77,01 з.д.	38,89 п.ш.	14	9,80112
Вена	16,36 с.д.	48,21 п.ш.	183	9,80860
Гринвич	0,0 с.д.	51,48 п.ш.	48	9,81188
Киев	30,30 с.д.	50,27 п.ш.	179	9,81054
Мадрид	3,69 с.д.	40,41 п.ш.	655	9,79981
Москва	37,61 с.д.	55,75 п.ш.	151	9,8154
Нью-Йорк	73,96 з.д.	40,81 п.ш.	38	9,80247
Одесса	30,73 с.д.	46,47 п.ш.	54	9.80735

[1] Внаслідок обертання Землі на ній також повинна спостерігатися відцентрова сила інерції, центробіжне прискорення на екваторі дорівнює 0,034 м/с². Це складає приблизно 1/300 частина прискорення вільного падіння g. Значить, на тіло маси т, що знаходиться на екваторі, діє відцентрова сила інерції, рівна m*g/300 і направлена від центру, тобто по вертикалі вгору. Ця сила зменшує вагу тіла в порівнянні з силою тяжіння Землі на 1/300 частина. Оскільки на полюсі відцентрова сила інерції дорівнює нулю  то при перенесенні тіла з полюса на екватор воно "втратить" внаслідок обертання Землі 1/300 частина своєї ваги. На інших широтах відцентрова сила інерції буде менше, змінюючись пропорційно радіусу паралелі, на якій розташовано тіло (мал. 208).

Із малюнка видно, що усюди, окрім екватора і полюсів,     відцентрова сила інерції спрямована під кутом до напряму на центр Землі, відхиляючись від нього убік екватора. В результаті сила тяжіння m*g, що представляє собою результуючу сили тяжіння до Землі відцентрової сили інерції, виявляється відхилений від напряму на центр Землі убік екватора.

Насправді, як показав дослід, втрата ваги тіла при перенесенні його з полюса на екватор складає не 1/300 частину його ваги, а більше: близько 1/190 частини. Це пояснюється тим, що Земля не куля, а злегка сплюснуте тіло,

і тому сила тяжіння на полюсі виявляється не на багато більша, ніж на екваторі. Вплив сили інерції і відмінність в силі тяжіння до Землі на різних широтах,  призводить до залежності прискорення вільного падіння від

широти місцевості і до відмінності в прискоренні вільного падіння в різних точках земної кулі.

 

 

 

ІІ Розділ

2.1  а) ПРИЛАД ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ПРИ ВІЛЬНОМУ ПАДІННІ

Прилад (мал. 69) складається  з метрової лінійки - маятника 1, кульки на нитці 2 і опорної скоби на стержні 3.

На лінійці на відстані приблизно 16 см від її верхнього кінця, рухливо  закріплено пластинку 4 якою прилад спирається на скобу (ірис. 70). Таким чином, лінійка  може вільно коливатися в двох площинах (мал. 69) : разом з пластинкою  в  площині креслення і на осі  пластинки - в площині, перпендикулярній кресленню. Це дає можливість лінійці  автоматично встановлюватися і  строго вертикальному  положенні.

На верху лінійки зроблено наскрізний отвір з дерев'яним кілочком 5 для зміни довжини нитки кульки.

Кулька має таку  вагу, що будучи підвішеною  проти нижнього краю опорної пластинки, він відхиляє  лінійку від положення рівноваги  на деякий кут і      при цьому торкається її грані.

Щоб при відхиленні лінійка  не зміщувала підвішену кульку  убік від вертикального напряму, співпадаючого з початковим вертикальним положенням передньої грані лінійки, на ній зроблений виріз по кругу. Центр цього кола співпадає з  віссю маятника (гострим краєм  пластинки-опори), а радіус r дорівнює відстані від осі до передньої  грані лінійки, як це показано на мал. 70.

На верхню частину лінійки надіта дротяна скоба або гумове кільце 6 (рис 69), через яке продівається нитка від кульки; це кільце притискає  нитку до лінійки. Якщо підвішена  кулька відхиляє лінійку на значний  кут і при цьому не торкається її грані, то, пересуваючи кільце вниз, можна добитися, щоб кулька  злегка торкався лінійки.

Для виконання дослідів затискають в муфті звичайного штатива стержень скоби, на якій встановлюється лінійка-маятник. До кульки прикріплюють нитку, вільний  кінець якої кілька разів намотують  на кілочок. За допомогою кілочка  регулюють довжину нитки так  щоб центр кульки був на одному рівні з нижнім гострим краєм  пластинки-опори і при цьому  кулька злегка дотикалася лінійки.

Після того, як коливання  лінійки заспокояться, перепалюють  нитку. Кулька вільно падає а лінійка  в цей час повертається до положення  рівноваги і ударяє об кульку (мал. 69, пунктир). Місце удару кульки по лінійці фіксується на прикріпленій до неї смужці білого паперу, накладеною на відрізок копіровальної стрічки  від машинки, що пише чи за допомогою  тонкого шару пластиліну.

Шлях, пройдений кулькою (відстань від початку падіння  до отриманої відмітки на лінійці), вимірюється масштабом з міліметровими  діленнями. А час падіння на цьому  шляху, рівне  ¼ періоду  повного  коливання лінійки, обчислюється з  виміру часу декількох коливань лінійки.

Для цього відхиляють маятник  приблизно на такий же кут, на якій відхиляв його підвішену кульку, і  одночасно з пуском маятника пускають секундомір (чи помічають положення  секундної стрілки годинника). Відрахувавши, наприклад, 20 або 30 коливань (вважати  всякий раз, коли лінійка повертається в початкове положення), зупиняють секундомір або помічають положення  секундної стрілки годинника. Отриманий час ділять на число коливань і на 4. Наприклад: число коливань лінійки 20; час, за те, що витрачається на ці коливання, 32 сек.; тоді час падіння кульки :

Якщо при цьому виявилось, що кулька пройшла шлях S= 78,5 см, то, користуючись рівнянням   можна вичислити остаточний результат:       

Багатократні випробування показали що відносна  погрішність  результату при виконанні робіт  із описаним приладом не виходить за межі 3%. [3]

Б) Фізичний маятник. [2] Найбільш точні виміри прискорення вільного падіння g виконуються за допомогою непрямих методів. Багато хто з них заснований на використанні формули для періоду коливань фізичного маятника. Масу маятника і період його коливань можна виміряти з дуже високою точністю, але точно виміряти момент інерції не вдається. Вказаного недоліку позбавлений метод оборотного маятника, який дозволяє виключити момент інерції з розрахункової формули для g. Розглянемо тіло маси m здатне коливатися відносно точки К і відхилене від положення рівноваги на кут а (мал. 1). Це тіло є фізичним маятником з моментом інерції I (відносно осі О, перпендикулярній площині малюнка).

Приведена довжина фізичного  маятника l - це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань цього фізичного маятника :          

   (1)            ;

Звідси , де I - момент інерції маятника відносно осі гойдань, т - його маса, S₁ - відстань від центру мас до точки підвісу.

Виміряти приведену довжину  можна перерозподілом мас маятника або зміною положення точки його підвісу. Точка К що лежить на перпендикулярі до осі гойдань, що проходить через центр тяжіння фізичного маятника на відстані l від цієї осі, називається центром гойдань (математичний маятник довжини l, підвішений до осі гойдань фізичного маятника коливатиметься синхронно з центром гойдань).

Приведена довжина маятника

2) .

По теоремі Штейнера

3) .

Якщо змусити маятник  коливатися біля горизонтальної осі, що проходить через К, його приведена довжина

4) ,

де S₂=KC - відстань від нової осі обертання до центру мас маятника; I₀ - момент інерції відносно осі, перпендикулярної площини малюнка і що проходить через центр мас маятника. З мал. 1 витікає, що

5) .

Підставимо цей вираз  у формулу (4) і знайдемо приведену  довжину l₂:

 

6) .

Таким чином, центр гойдань  має наступну властивість: якщо вісь пройде через центр гойдань, то новий  центр гойдань буде розташований на місці старої осі.

                             

Мал. 1                                                                         Мал.2

З рівності приведених довжин виходить рівність періодів коливань.

Оборотним маятником називається  фізичний маятник, центр гойдань  якого розташований в межах тіла, що коливається. Такий маятник можна  підвішувати у будь-якій з двох точок О і К (мал. 2) без зміни періоду коливань: T₁=T₂=T. Взаємозамінні точки О і К  розташовані по обидві сторони від центру мас С на відстанях S₁ і S (мал. 2). Моменти інерції відносно осей, що проходять через ці точки, різні:

7) I_l=I₀+m*S₁ и I₂=I₀+m*S₂.

Періоди коливань оборотного маятника можуть бути виражені:

8) і  .

Враховуючи рівність періодів, і вирішуючи цю систему рівнянь, легко отримати вираження для  прискорення вільного падіння :

9) ,

Де l = S₁ + S₂ - приведена довжина маятника.

 

2.2  Вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою         машини Атвуда

Атвуд Джордж (1746-11.07 1807) - англійський  фізик і математик, член Лондонського королівського суспільства (1776). Закінчив Кембриджський університет (1772). Працював там же в 1769-84 викладачем, професором. Роботи в області електрики, оптики, механіки. Винайшов прилад для перевірки законів падіння тіл (машина Атвуду), який описав в трактаті по механіці (1784). Досліджував стійкість тіл на поверхні води. Одна з безрозмірних величин у фізиці, на згадку про цього ученого, носить носить ім'я Число Атвуду. [11]

Машина Атвуда призначена для дослідження закону руху тіл в полі земного тяжіння. Найприродніше, звичайно, вивчити цей закон, досліджуючи вільне падіння тіл. Цьому заважає, проте, велика величина прискорення вільного падіння. Такий дослід можливий тому або при дуже великій висоті приладу (набагато більшою, ніж висота кімнати), або за допомогою спеціальних методів, що дозволяють точно вимірювати невеликі проміжки часу (частки секунди). Машина Атвуда дозволяє уникнути цих труднощів і уповільнити рух до зручних швидкостей.

Облаштування машини Атвуда зображено на мал. 1. Легкий алюмінієвий блок вільно обертається навколо осі, укріпленої у верхній частині стійки. Через блок перекинута тонка нитка на кінцях якої висять вантажі А і Б, що мають рівні маси М. На вантаж А можуть надіватися один або декілька перевантажень. Система вантажів в цьому випадку виходить з рівноваги і починає рухатися прискорено.

На початку досліду  вантаж Б утримується нерухомо за допомогою електромагніту. Виключення струму, поточного через електромагніт, звільняє вантаж Б і приводить нитку з вантажами в рух. Знайдемо закон руху вантажу А. При розрахунках користуватимемося нерухомою системною координат, центр якої поєднаний з віссю блоку. Вісь ОХ направимо вниз. Нехай маса перевантаження, що лежить на вантажі А, рівна m.

На вантаж А діє дві  сили: сила ваги (M+m) g і сила натягнення лівої частини нитки Т₁ за другим законом Ньютона:

                                      (M+m)*g-T1=(M+m)*a                                                   (1)

де а - прискорення вантажу  А.

Застосуємо другий закон  Ньютона до руху вантажу Б. Через не розтяжність нитки прискорення вантажу Б дорівнює прискоренню вантажу А за абсолютною величиною і спрямовано в протилежну сторону. Воно рівне, отже, -- а. Натяг правого кінця нитки позначимо Т₂. Тоді

                                          M*g – T2= -- M*a                                                        (2)

При невагомому блоці, натягнення нитей Т₁ і Т₂ дорівнюють один одному

                                        Т₁= Т₂                                                                    (3)

З (1), (2) і (3) отримаємо

                                                                                         (4)

Рух вантажу А  відбувається, таким чином, рівноприскорено і підкоряється рівнянню (4).

Експеримент ускладнюється, проте, тією обставиною, що не існує  простих способів прямого виміру прискорення а. Скористаємося тому для визначення а формулами рівноприскореного руху: вимірюватимемо шлях S і час руху. Вони пов'язані, як відомо, співвідношенням