Вырожденный электронный газ

    В результате теплового возбуждения часть электронов, имевших энергию, меньшую Ef, переходит на уровни с энергией, большей и устанавливается новое их распределение по состояниям. На рис. 5, б показаны кривые распределения электронов по состояниям при Т = О К (кривая 1) и при Т > О К (кривая 2). Из рис. 5, б видно, что повышение температуры вызывает размытие распределения на глубину kT и появление «хвоста» распределения ВС, располагающегося правее Ef. Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается  функция  распределения. Сам хвост ВС описывается уже максвелловским распределением.

   На рис. 5, б заштрихованные площадки пропорциональна числу электронов,  покидающих состояния с   энергией   Е < Е_F (площадка ADB) и переходящих на уровни, расположенные выше Е_F (площадка Е_F ВС). По величине эти площадки равны, так как выражают одно же число электронов.

Произведем  приближенную оценку этого числа  ∆N. В интервале энергий от 0 до Е_F  располагается N/2 энергетических уровней. Где N — число свободных электронов в металле. Упрощая задачу, можно считать, что эти уровни отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии, равном

∆ε= Е_F / (N/2)=2 Е_F / N.

Термическому  возбуждению подвигаются электроны полосы kT расположенной ниже Е_F (рис. 5, а),

В этой полосе размещается  kT /∆ε= kTN / 2Е_F уровней, на которых располагается  2kTN / 2Е_F = kTN / Е_F электронов. Полагая, что за  уровень Ферми переходит не более половины этих электронов,  получим следующее приближенное соотношение для ∆N:

 

∆N» kTN / 2Е_F                 (25)

 

При комнатной температуре kT » 0,025 эВ, E_F = 3—10 эВ, поэтому ∆N/N < 1%;   при   Т = 1000 К ∆N/N » 1 - 2%.

     Таким образом, во всем диапазоне температур, в котором электронный газ в металле является вырожденным, его распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле. Тепловому возбуждению подвергается лишь незначительная доля электронов, располагающихся у уровня Ферми. При  комнатной температуре эта доля составляет меньше 1% от общего числа электронов проводимости. Так как при температурах, при которых возможно существование конденсированного состояния металла, электронный газ в нем является всегда вырожденным, то рассмотренные закономерности распределения электронов в металлах остаются справедливыми практически во всех случаях.

     Рассмотрим  зависимость   химического   потенциала   вырожденного газа от температуры.

     Интегрируя   полную  функцию   распределения   Ферми — Дирака                  ƒф(E) g(E) dE по энергии, получим полное число свободных электронов в металле N:

 
 
 

Этот  интеграл в общем случае не берется. Приближенное вычисление его для области температур, в которой электронный газ является еще сильно вырожденным, приводит к следующей зависимости   µ  от Т:

 

                                                                                                                (26)

 

Так как  вплоть до точки плавления металла kT остается значительно меньше Ef, то уменьшение µ с повышением Т оказывается   настолько малым, что во многих случаях им можно пренебречь и уровень Ферми при любой температуре считать совпадающим с Ef.

Можно вычислить также среднюю энергию электронов Е вырожденного газа,

 

поделив полную его энергию Е_п = ∫ E fф(E) g(E) dE на число электронов N:

 
 
 
 

Приближенное  вычисление этих интегралов приводит к результату:

 

                                                                                               (27)

 
 

При Т = 0 (27) переходит в (22).

 

Снятие  вырождения. Невырожденный   электронный  газ.

 

    При выполнении критерия невырожденности (1) любой газ, в том числе и электронный, должен стать невырожденным. Рассмотрим  этот вопрос более подробно.

      Согласно (1), газ является невырожденным, если средняя плотность заполнения состояний частицами значительно меньше единицы. Так как функция распределения ƒ(Е) как раз и выражает среднюю плотность заполнения состояний частицами, то условие невырожденности (1) можно записать так:

ƒ(Е) « 1                      (28)

   Функция Ферми—Дирака (16) будет существенно меньше единицы если слагаемое е ^{(Е-µ) / кТ} , стоящее в ее знаменателе, окажется но больше единицы:

е ^{(Е-µ) / кТ} »1            (29)

 

Это неравенство должно выполняться  для всех состояний, в том числе, и для состояния с Е = 0:

                                                е ^{-µ / кТ} »1                  (30)

 
 

                             

Из (30) следует, что для невырожденного электронного газа, удовлетворяющего критерию (29), –µ  должна быть величиной  положительной и существенно большей kT:

 

–µ  > kT                (31)

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 3

 
 

Сам же химический потенциал µ должен быть величиной отрицательной и по абсолютному значению большей kT.

При выполнении условия (29) единицей в знаменателе Ферми — Дирака можно пренебречь и получить следующее выражение для   функции   распределения

 невырожденного  электронного газа:

 

                                    f(Е) = е ^{µ / кТ} • е ^{-Е / кТ}                                 (32)

 

Сравнение (32) с распределением Максвелла   —  Больцмана показывает, что невырожденный электронный газ описывается распределением Максвелла   —  Больцмана, как и   любой другой невырожденный газ.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 6

 

  В металлах, где концентрация свободных электронов очень высока (»10²⁸   м^-3), электронный газ всегда находится в вырожденном состоянии и описывается распределением Ферми—Дирака.

С   невырожденным   электронным   газом   приходится   иметь   дело в собственных (беспримесных) и в слаболегированных полупроводниках являющихся  основой   всей   современной полупроводниковой электроники. Концентрация свободных электронов в таких полупроводниках значительно ниже, чем в металлах и колеблется в зависимости от содержания активных примесей от  10¹⁶—10¹⁹ до  10²³ —10²⁴ м^-3 .

    При   таких   концентрациях   выполняется   условие (1) и электронный газ оказывается невырожденным. В заключение,   чтобы показать,   насколько   сильно в своем поведении идеальный невырожденный газ, подчиняющийся статистике Максвелла — Больцмана,  и вырожденный электронный газ,

описываемый  статистикой   Ферми—Дирака,   приведем  некоторые  их

свойства (табл. 3).

     Из данных таблицы видно, что в то время, как для невырожденного идеального газа средняя энергия Е, средняя квадратичная скорость движения v_кв и давление р являются функциями температуры и при абсолютном нуле обращаются в нуль, для вырожденного электронного газа Е, v_кв и р уже при абсолютном нуле имеют огромную величину и практически не зависят (точнее очень слабо зависят) от температуры (рис. 6). Это как раз и указывает на то, что у вырожденного электронного газа Е, v²_кв и р имеют в подавляющей своей части нетермическую природу, на что обращалось внимание ранее; вклад же теплового движения электронов в эти величины незначителен.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КАК УСТРОЕНЫ БЕЛЫЕ КАРЛИКИ

    Существует класс очень интересных звезд с красивым названием «белые карлики». Открыты они были еще в начале 20 годов 20  века, а природа их существования была объяснена лишь в 1930 году, английским физиком Р. Фауэром. Чем же так заинтересовали физиков эти звезды? Обратимся к диаграмме Герцшпрунга — Рессела. На ней «белые карлики» находятся в левом нижнем угле. Эти звезды принадлежат к сравнительно раннему спектральному классу и имеют абсолютную звездную величину 10- 12, т.е. их светимость в сотню раз меньше чем у Солнца, а цвет «белый». Типичным представителем этого класса звезд является спутник Сириуса, так называемый «Сириус В». Стоит отметить, что эти странные звезды — отнюдь не редкая категория каких-то патологических «уродцев» в нашей Галактике. Наоборот, это весьма многочисленная группа звезд. Их в Галактике должно быть по крайней мере несколько миллиардов, а может быть, и все десять миллиардов, т. е. до 10% всех звезд нашей гиганте звездной системы. Следовательно, белые карлики должны образоваться в результате какого-то закономерного процесса, который имел место у заметной части звезд. А отсюда следует, что наше понимание мира звезд будет весьма далеким от полноты, если мы не поймем природу белых карликов.