Вырожденный электронный газ

Рассмотрим  теперь электронный газ в металлах. Для него п » 5 • 10²⁸ м^-3,

 m = 9• 10^-31 кг. При таких значениях п и т электронный газ оказывается невырожденным лишь при температурах свыше 10⁵ К, при которых левая часть формулы (15) становится меньше 1 (при Т = 10⁵ К она равна »0,5). Поэтому в реальных условиях электронный газ в металлах всегда вырожден, вследствие чего он должен описываться квантовой статистикой Ферми — Дирака.

Из (15) видно, что невырожденное состояние газа может быть достигнуто не только путем повышения его температуры, но и путем уменьшения концентрации п.  При п » 10²² м^-3 левая часть (15) для электронов оказывается равной  »10^-3 и электронный газ становится невырожденным. Такая и меньшая концентрации электронного газа имеют место в полупроводниках,  вследствие  чего он   является в них невырожденным и описывается классической статистикой Максвелла — Больцмана.  

 
 

Функция распределения для вырожденного газа электронов.

 

       Функция распределения для вырожденного газа электронов была впервые получена итальянским физиком Ферми и английским физиком Дираком и имеет следующий вид:

 

                                                                                (16)

 

        Здесь, как и ранее, через µ обозначен химический потенциал вырожденного газа фермионов, который в применении к такому газу чаще называют уровнем Ферми.

Из (16) видно, что при Е = µ функция распределения ƒ (Е)=0,5 при любой температуре Т  ≠0. Поэтому со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 0,5.

Функцию (16) называют   функцией   Ферми — Дирака.   Наглядное

представление о ней  можно получить,  рассматривая вырожденный электронный газ  в металлах при абсолютном нуле.

 

Распределение электронов в металле  при абсолютном нуле.

Энергия Ферми

 

Металл  для свободных электронов является своеобразной потенциальной   ямой,   выход из которой требует затраты работы  по преодолению сил связи,  удерживающих  электроны в металле. На рис. 3. представлена схема такой потенциальной ямы.

 

Рис. 3

 

Горизонтальная  линиями показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. В соответствии с принципом Паули на каждом таком уровне могут разместиться два электрона с противоположными спинами. Если электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень N/2. Этот уровень и называется уровнем Ферми для вырожденного электронного газа. Он соответствует максимальной кинетической энергии Еf, которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле. Ее называют энергией Ферми.

   

   Таким образом, при абсолютном   нуле   все состояния с энергией E < Ef заняты электронами, состояния с энергией E>Ef свободны.

 
 

Рис. 4

 

Иначе говоря, при Т = О К вероятность заполнения электронами состояний с энергией Е < E_F равна 1, вероятность заполнения с энергией Е > Ef равна нулю:

 

                                                               1    для    Е < E_F

                                      ƒ (Е)=                                                                      (17)

                                                               0    для    Е > Ef

Чтобы получить этот результат из (16),  необходимо считать, что при Т = О К химический потенциал электронного газа, отсчитанный от дна потенциальной ямы, равен энергии Ферми E_F

 

      µ= E_F                                                                    (18)

В самом  деле, положив в (16) µ= E_F    получим:

 

                                                                                                              (19)

 

Если  Е < E_F, то при Т=0 К                 → 0 и ƒф=1,

 

 Если Е > Ef , то при Т=0 К               → ∞  и  ƒф=0.

 
 

На  рис. 4, а показан график функции распределения Ферми -Дирака при абсолютном нуле. Он имеет вид ступеньки, обрывающейся при   Е = E_F

       Умножая (17) на число состояний g(E)dЕ получим полную функцию распределения Ферми — Дирака   абсолютном нуле:

 

N (E)dE = —— (2m)^3/2 ÖE dE,                     (20)

 

Т. к. в интервале энергий от 0 до Ef функция ƒф=1. График функции N(Е) показан на рис. 4, б; заштрихована область занятых состояний

Интегрируя  выражение (20) в пределах от 0 до Ef, получим:

 

                                                            

Отсюда  легко определить энергию Ферми Ef:

 

                                                                                               (21)

 

Где n = N/V -  концентрация электронного газа в металле

    Зная функцию распределения электронов по энергиям, можно определить среднюю энергию электронов при абсолютном нуле E₀. Расчет показывает, что

 

                                                                                                (22)

 

Наконец, зная E_F и Е_о, можно вычислить максимальную f   и среднюю квадратичную v_кв скорости движения свободных электронов в металле при абсолютном нуле:

                                                                                                 (23)

 
 

В табл. 2 приведены энергия Ферми E_F , средняя энергия Е_о максимальная и

 
 
 
 

Рис. 5

 

средняя скорости движения свободных электронов при абсолютном нуле некоторых металлов. В последнем столбце дана та называемая температура Ферми Tf, которая определяется из соотношения

 

Tf = E_F / k                         (24)

где k — постоянная Больцмана. Она показывает, при какой температуре обычный невырожденный газ с массой молекул, равной массе электрона, имел бы энергию теплового движения kТ, равную энергии Ферми E_F.  Из данных табл. 2 видно, что Tf столь высоки, что ни один металл при таких температурах не может существовать в конденсированном состоянии.

Следует подчеркнуть,   что  энергия  Ферми, будучи  кинетической энергией  поступательного  движения  свободных  электронов,   не является энергией их

теплового движения. Она имеет чисто квантовую  природу и возникает из-за специфического свойства электронов как ферми-частиц, подчиняющихся принципу Паули.

 

Влияние температуры на распределение  Ферми—Дирака.

 

      С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни, в следствии чего меняется характер распределения их по состояниям. Однако в интервале температур, в котором энергия kT теплового движения остается  значительно ниже энергии Ферми E = Ef,  тепловому возбуждению могут подвергаться электроны лишь узкой полосы  kT,  непосредственно расположенной у уровня Ферми (рис. 5 а, возбужденные состояния  показаны  штриховкой).    Электроны   более    глубоких уровней остаются практически незатронутыми, так как энергия kT теплового движения недостаточна для их возбуждения (для перевода за уровень Ферми).