Вырожденный электронный газ

justify">Из  предыдущего следует, что в квантовых  статистиках фигурируют только квантовые объекты, тогда как в классической статистике могут фигурировать и классические, и квантовомеханичеекие объекты. Если уменьшать число частиц в коллективе или увеличивать число возможных состояний микрочастицы, то вырожденный коллектив превращается в конце концов в невырожденный. В этом случае независимо oт своей фермионной или бозонной природы коллектив будет описываться классической статистикой Максвелла — Больцмана.    

              

 

Функция   распределения

 

      Поставим вопрос: каким образом распределение частиц по тем или иным состояниям связано с состоянием коллектива,  как целого?                                                                            

Для того чтобы задать состояние коллектива, например газа частиц, надо указать  его термодинамические параметры. Чтобы задать состояние частиц, надо указать значение их координат и  составляющих импульсов или энергию частиц, которая определяется их координатами  и импульсами.                               

Связь между этими двумя типами величин  осуществляет статистическая функция распределения                         

Nµ,T(E)dE         (3)

 

выражающая  число частиц с энергией от Е до Е + dE в системе, состояние  которой описывается термодинамическими  параметрами µ и Т. Такую функцию называют полной статистической функцией распределения. Для упрощения записи значки термодинамических параметров у функции распределения обычно опускают.

Полную  функцию распределения можно  представить в виде произведения числа состояний g(E)dE, приходящихся на интервал энергий dE , на вероятность заполнения этих состояний частицами Обозначим последнюю через ƒ (Е).  Тогда:

N (E)dE = f(E)g(E)dE            (4)

Функцию ƒ (Е) называют просто функцией распределения. Как указано выше, она выражает вероятность заполнения частицами данных состояний. Если, например, на 100 близко расположенных состоянии приходится в среднем 10 частиц, то вероятность заполнения этих состояний ƒ (Е) = 0,1. Так как на каждое состояние приходится в среднем 0,1 частицы, то ƒ (Е) можно трактовать как среднее число частиц, находящихся в данном состоянии.

Таким образом, задача  об отыскании полной функции распределения частиц по состояниям сводится к отысканию функции g (E)dE, описывающей распределение состояний по энергиям, и функции ƒ (Е), определяющей вероятность заполнения этих состояний частицами. Определим сначала функцию g (E)dE.

 

Число состояний для микрочастиц

 

Понятие о фазовом пространстве микрочастицы и его квантовании

В классической механике состояние частицы определяется заданием трех координат (x, у, z) и трех составляющих импульса (р_х, р_y, p_z ). Представим себе шестимерное пространство с осями координат x, у, z ,р_х, р_y, p_z Состояние частицы в этом пространстве в каждый времени будет определяться точкой

(x, у, z ,р_х, р_y, p_z). Такое пространство называют фазовым, а точки

(х, у,  z, р_х, р_у, p_z), определяющие состояние частицы, называют фазовыми точками. Величина

DГ = DГvDГp = dx dy dz dp_x dp_y dp_z        (5)

называется  элементом объема фазового пространства. DГv = dxdydz представляет собой элемент объема пространства координат,

DГp = dp _х dp _y dp_г — элемент объема пространства импульсов.

Так как  у классической   частицы координаты и составляв импульса могут меняться непрерывно, то элементы DГv ,  DГp, а вместе с ними и элемент DГ могут быть сколь угодно малыми.

   Для системы невзаимодействующих частиц, не подверженной влиянию внешнего поля, потенциальная энергия частиц равна нулю. Такие частицы называются свободными. Для них удобно пользоваться не шестимерным фазовым пространством, а трехмерным пространством импульсов. В этом случае элемент DГv равен просто объему V, в котором движутся частицы, поскольку никаких других ограничений на их положение не налагается.

   Несколько иначе обстоит дело с делением фазового пространства на элементы объема в том случае, когда частицей       является электрон или

Рис. 1     

любой другой микрообъект, обладающий волновыми свойствами. Наличие у таких микрочастиц волновых свойств, исключает, согласно принципу неопределенностей, возможность различать два состояния (x, у, z, р_х, р_y, p_z ), и (x+dx, у +dy, z +dz, р_х + dp_x,

р_y + dp_y, р_z + dp_z),    если произведение

dx dy dz dp_x dp_y dp_z, окажется меньше h³. Так как это произведение выражает элемент объема шестимерного фазового пространства, то отсюда следует, что различным элементам объема шестимерного фазового пространства будут   отвечать   различные квантовые состояния микрочастицы лишь в том случае, если размер этих элементов            .                         объема не меньше h³ .

Поэтому в квантовой статистике за элементарную ячейку шестимерного фазового пространства принимается объем, равный

DГ = DГvDГp = h³ .      (6) 

Для свободных  микрочастиц, для которых DГv=V, элемент трехмерного пространства  импульсов  равен:

DГp = h³ /V      (7)

Каждому  такому элементу   соответствует   квантовое   состояние, отличимое от других состояний.

   Процесс деления фазового пространства  на  ячейки  конечной величины (h³ или h³ /V) называют квантованием фазовом пространства.

 
 

   Плотность состояний

 

     Подсчитаем число состояний, которым обладает микрочастица в интервале энергий от Е до Е + dE. Для этого проведем в пространстве импульсов две сферы радиусами p и p+dp (рис.1). Между этими сферами находится шаровой слой, имеющий объем, равный 4pp²dp. Число элементарных фазовых ячеек, заключенное в этом слое, равно

 

                                                                                 (8)

 
 

Так  как каждой  ячейке отвечает одно состояние микрочастицы, то   число  состояний,       приходящееся на интервал dp, заключенный между  p и p+dp, равно:

                                                                                             (9)

 

Для свободных  не взаимодействующих друг с другом частиц

 

                                                                                                   

 

  Находя отсюда p и p+dp и подставляя в получим

 

                                                                                                                  (10)

Это и  есть число состояний микрочастицы в интервале энергий dE, заключенном между Е и Е + dE. Поделив правую и левую части соотношения (11) на dE, получим плотность состояний g (E), выражающую число состояний микрочастицы, приходящееся на единичный интервал    энергий:

                                        

                                                                                                                     (11)

 
 

Рис.2

 

Из (11) видно, что с ростом Е плотность состояний увеличивается

пропорционально  ÖЕ (рис. 2). Кроме того, плотность состоянии зависит от массы частицы, увеличиваясь с ростом т.

В случае электронов каждой фазовой ячейке отвечает, строго говоря, не одно, а два состояния, отличающиеся друг от друга направлением спина. Они называются спиновыми состояниями. Поэтому для электронов число состояний (9) и (10) п плотность состояний (11) следует удвоить:

 

                                                                                               (12)

 
 

                                                                                               (13)

 
 

                                                                                               (14)

 
 
 
 
 
 
 
 

Критерий  невырожденности  идеального газа.

Интегрируя  по энергии в пределах or 0 до Е, получим число состояний микрочастицы заключенное и интервале энергий от 0 до Е

 
 
 

Полагая Е = 3kT/2, найдем

 
 
 

Подставив это в (1), получим выражение для критерия невырожденности:

 

                                                                                        (15)

n = N/V -  число частиц в единице объема.

Рассмотрим  какой-либо молекулярный газ, например азот при нормальных условиях. Для него п » 10²⁶ м ^-3, m = 4,5*10 ^-26 кг, kT = = 4*10^-21   Дж.   Подставив   это   в   левую часть   (15),     получим

 
 

что значительно  меньше единицы. Поэтому обычные  молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными и должны описываться классической статистикой Максвелла — Больцмана.