Статистическая физика

 

     дает следующее  уравнение для давления газа:     

 

.

(5.17)

 

     Здесь - постоянная Больцмана.     

Интегрирование уравнения (5.17) при условии: позволяет определить зависимость давления от высоты:     

 

,

(5.18)

 

     где - давление газа на высоте, принятой за начало отсчета.     

С учетом формулы (2.36) для постоянной Больцмана:     

 

,

(5.19)

 

     где - молярная масса газа, выражение (5.18) можно представить в виде:     

 

.

(5.20)

 

      Эта зависимость носит название барометрической формулы. Она, в частности, позволяет рассчитывать зависимость давления атмосферы от высоты в случае, если температура атмосферы постоянна, а гравитационное поле - однородно. Для реальной атмосферы Земли на высотах примерно до 10 км её температура уменьшается в среднем на 6 К на 1 км подъема. Далее до высот порядка 20 км температура остается практически постоянной, а выше - постепенно возрастает до ~ 270 К на высоте около 55 км. На этой высоте давление атмосферы становится уже меньше 0,001 от атмосферного давления на уровне моря.     

Несмотря на указанную  зависимость температуры атмосферы  Земли от высоты, формула (5.20) позволяет достаточно точно определять высоту по результатам измерения давления, что нашло применение в приборах, предназначенных для определения высоты полета самолетов.     

Подстановка уравнения  состояния (5.16) в выражение (5.18) позволяет получить следующую зависимость концентрации молекул идеального газа от координаты :

,

(5.21)

 

     где - концентрация газа при .     

Формула (5.21) была получена в предположении, что газ находится в однородном гравитационном поле и, следовательно, потенциальную энергию его молекулы в зависимости от координаты можно выразить простой формулой:

.

(5.22)

 

      Сопоставление формул (5.21) и (5.22) позволяет сделать вывод, что для однородного гравитационного поля распределение концентрации газа зависит от потенциальной энергии его молекул в этом поле. Считая, что данное утверждение справедливо для любого потенциального силового поля, потенциальная энергия молекул газа в котором описывается зависимостью , запишем выражение для определения концентрации молекул газа в виде:

,

(5.23)

 

     где - концентрация газа в точке, соответствующей началу координат при условии, что .     

Формула (5.23) была впервые получена в 1866 году Л. Больцманом и описывает распределение, получившее название распределения Больцмана. Это распределение позволяет рассчитывать концентрацию газа, находящегося в равновесном состоянии во внешнем силовом поле. Причем это поле не должно быть обязательно гравитационным, а может иметь любое происхождение, в частности, быть электростатическим или полем сил инерции.     

Анализ распределения Больцмана показывает, что концентрация молекул газа тем выше, чем меньше их потенциальная энергия. Кроме этого, с понижением температуры увеличивается отличие концентраций в точках с различными значениями потенциальной энергии молекул. А при стремлении температуры к абсолютному нулю, молекулы начинают скапливаться в месте, где их потенциальная энергия принимает наименьшее значение. Указанные особенности распределения Больцмана являются следствием теплового движения молекул, так как кинетическая энергия их поступательного движения в среднем равна и уменьшается пропорционально уменьшению температуры. А уменьшение кинетической энергии приводит к уменьшению количества молекул, способных преодолеть потенциальный порог, высота которого характеризуется величиной потенциальной энергии высотой .     

Распределение Больцмана (5.21) было использовано французским физиком Жаном Батистом Перреном (1870 - 1942) при экспериментальном определения постоянной Больцмана и постоянной Авогадро . В работах, выполненных Перреном в 1908 - 1911 годах, измерялось распределение концентрации микроскопических частиц во внешнем гравитационном поле. Отметим, что совокупность микрочастиц, находящихся во взвешенном состоянии в жидкости, близка по своей молекулярно-кинетической структуре к идеальному газу и может описываться газовыми законами. Это делает возможным при определении распределения микрочастиц во внешнем силовом поле использовать формулу Больцмана.     

В соответствии с формулой (5.21) по мере подъема на высоту концентрация экспоненциально убывает. Перрен для экспериментального определения зависимости использовал микроскоп, глубина резкости объектива которого обеспечивала измерение положения микроскопических частиц в тонком слое эмульсии (толщиной около 100 мкм) с точностью до 1 мкм. Эмульсия представляла собой взвесь одинаковых сферических частиц специального древесного сока или смолы (гуммигута) в воде. Размер этих частиц в опытах Перрена достигал значения менее 0,4 мкм.     

Полученная  в эксперименте зависимость концентрации от высоты и измеренная независимым способом масса микроскопических частиц позволили с помощью распределения Больцмана (5.21) рассчитать постоянную Больцмана . Дальнейшее определение постоянной Авогадро выполнялось по формуле: , где - универсальная газовая постоянная. Полученное таким образом значение постоянной Авогадро оказалось близко к установленному позднее более точными методами значению .     

Проведенные Перреном эксперименты, кроме установления величины постоянной Авогадро, позволили  также доказать применимость формулы  Больцмана к описанию распределения  не только молекул газа, но и любых других микрочастиц.     

Задача 5.2. Определить среднее значение координаты молекулы в однородном гравитационном поле, если идеальный газ занимает весь объем при  . На основе полученного выражения найти среднюю потенциальную энергию молекул газа в указанном однородном поле.      

Решение: Подстановка распределения (5.21) в формулу (5.12) позволяет определить среднее значение координаты в виде:     

 

.     

Учитывая  то, что потенциальная энергия  в однородном гравитационном поле описывается  формулой (5.22) получим выражение для средней потенциальной энергии молекул газа:     

 

.

Глава 2. Тердодинамическое состояние

2.1.Процессы в газах

 

Изохорный процесс. Допустим, что идеальный газ заключен в цилиндре с неподвижным поршнем. Подвергнем цилиндр нагреванию и передадим газу некоторое количество теплоты Q_v. Процесс нагревания газа при постоянном объеме называют изохорным. Так как поршень закреплен неподвижно, то газ не может совершить работы над внешними телами. Поэтому, по первому началу, вся переданная газу энергия превратиться во внутреннюю энергию и температура газа повысится: Q_v =  U.

Таким образом, при изохорном процессе все подведенное к системе  количество теплоты идет на увеличении внутренней энергии системы.

Изобарный процесс. Изобарным называют процесс перехода газа из одного состояния  в другое, происходящий при постоянном давлении. Чтобы осуществить изобарный процесс, заключим газ в цилиндр с поршнем, который свободно перемещается по цилиндру (рис).

При нагревании газа ему передается в виде тепла энергии Q_р. Согласно первому началу термодинамики, эта энергия частично перейдет во внутреннюю энергию системы, а частично – на подъем поршня   h на высоту:

 

Q_р= U+A_p

 

Таким образом, при изобарном процессе подводимое к газу количество теплоты  частично идет на увеличение внутренней энергии газа, а частично – на совершение газом работы.

Найдем работу газа при изобарном процессе. Так  как давление газа постоянно, то постоянной будет и сила давления на поршень: F=pS. Следовательно, A_p = _pSдh. Но произведение Sдh равно изменению объема газа. Поэтому:

 

A_p = p  V =p (V₁-V₂).

 

На графике  процесса эту работу изображают площадью прямоугольника, образованного изобарой и начальной и конечной изохорами (рис).

Изотермический процесс. Изотермическим называют процесс перехода газа из одного состояния в другое при постоянной температуре. Для осуществления изотермического процесса поместим газ, находящиеся в цилиндре с легкоподвижным поршнем, в термостат – устройство, в котором за счет внешней энергии поддерживается постоянная температура (рис).

Медленно сожнем газ. При этом мы совершим работу – Ат. По первому закону термодинамики, эта работа будет равна количеству теплоты, которую газ передаст термостату:

Qт = -Ат.

Если же газ в этих условиях будет  расширяться, он совершит работу + Ат, а  для того чтобы его температура -  Q, равное совершенной работе.

Таким образом, при  изотермическом расширении на диаграмме  рV изображают площадью фигуры, ограниченной изотермой и изохорами.

Адиабатный процесс. Адиабатным называют такой процесс, в ходе которого система не получает и не отдает энергию в виде теплоты. Иными словами, при адиабатном процессе Q = 0.

Чтобы осуществить такой процесс, газ надо заключить в адиабатный сосуд, т.е. сосуд, через который невозможны потоки тепла. При адиабатном процессе, согласно первому началу термодинамики,

Q = -А_Q/

Допустим, что газ, заключенный  в адиабатный цилиндр расширяется (рис). При этом газ совершает работу за счет внутренней энергии системы. Следовательно, температура газа в этом случае понизится. Это легко объяснить исходя из молекулярно-кинетической теории.

Допустим, что поршень движется вверх со скоростью U относительно стенок сосуда. Вслед за поршнем со скоростью с относительно стенок движется молекула. Относительно поршня скорость этой молекулы С – U. После того как молекула «догонит» поршень и произойдет упругий удар, ее скорость будет  С – U, хотя молекула уже движется вниз и ее скорость относительно стенок цилиндра  С – 2U. Таким образом, будет уменьшаться скорость всех молекул, испытавших соударение с поршнем. Это при ведет к уменьшению средней квадратичной скорости движения молекул, а следовательно, и к понижению температуры.

На рис.25, а приведены графики  расширения газа при изотермическом и адиабатном процессах. Адиабата проходит ниже изотермы. Это объясняют тем, что давление газа при адиабатном процессе падает и за счет расширения газа и за счет его охлаждения. Следовательно, при адиабатном расширении газ совершает меньшую работу, чем при изотермическом. Подсчитаем эту работу. При адиабатном процессе Q = 0. Следовательно,       А_Q=  U, а изменение внутренней энергии U=3/2 N_R (Т1-Т2). Поэтому

А_Q =3/2 N_R (Т1-Т2).

При адиабатном сжатии газа давление возрастает быстрее, чем при изотермическом, так как его рост обусловлен не только сжатием, но и нагреванием  газа (рис). Следовательно, работа внешних  сил при адиабатном сжатии больше, чем при изотермическом.

 

2.2.Первое начло термодинамики

 

Первое начало термодинамики является математическим выражением количественной стороны законы сохранения и превращения  энергии в применении к термодинамическим  системам. Оно было установлено в  результате экспериментальных и  теоретических исследований в области физики и химии, завершающим этапом которых явилось открытие эквивалентности теплоты и работы, теплоты в работу и работы в теплоту осуществляется всегда в одном и том же строго постоянном количественном соотношении.

Первое начало термодинамики устанавливает: внутренняя энергия системы является однозначной функцией ее состояния и изменяется только под влиянием внешних воздействий.

В термодинамике рассматриваются  два типа внешних воздействий: воздействия, связанные с изменением внешних параметров системы и воздействия, не связанные с изменением внешних параметров и обусловленные изменением внутренних параметром или температуры. 

Поэтому, согласно первому началу, изменение внутренней энергии  U₂- U₁ системы при ее переходе под влиянием этих воздействий из первого состояния во второе равно алгебраической сумме Q и W, что для конечного процесса запишется в виде уравнения U₂- U₁ = Q – W или

Q = U₂- U₁ + W

Для элементарного процесса уравнение  первого начала таково:

Q = bU + W

По первому началу, изменение внутренней энергии bU при элементарном процессе перехода системы из одного состояния в бесконечно близкое есть полный дифференциал и, следовательно конечное ее изменение   U₂- U₁ будет одним и тем же независимо от пути перехода системы из состояния 1в 2 (рис.) – по пути, условно обозначенному а или b, но Q и W будут при этом разные. Это означает, что Q и W в отличие от U не являются функциями состояния системы, а характеризует процесс, испытываемой системой, т.е. являются функциями от линии, или функционалами. То, сто выражение для элементарной работы W не является полным дифференциалом, устанавливается в общем случае на основе второго исходного положения термодинамики, а то, что дифференциальное выражение для Q не есть полный дифференциал, непосредственно следует из уравнения первого начала.

Зависимость Q и W от пути видна на простейшем примере расширения газа. Работа, совершенная системой при переходе ее из состояния 1 в 2 по пути а, изображается площадью, ограниченной контуром А1а2ВА: