Статистическая физика

.

(1.2.2)

 

     Подстановка в  него формулы, связывающей величину скорости и значения её проекций     

 

,

(1.2.3)

 

     приводит к  единственно возможному выражению  для функции распределения:     

 

(1.2.4)

 

     или     

 

,

(1.2.5)

 

     что полностью  совпадает с формулой, , полученной на основе применения принципа детального равновесия.     

Соответственно функция распределения  для значений проекций скорости приобретает вид:     

 

.

(1.2.6)

 

     Здесь константы  и можно определять, исходя из условия нормировки и значения среднего квадрата скорости хаотического движения молекул газа .     

Введем следующие обозначения:     

 

,

(1.2.7)

 

     с учетом которых  функция (1.2е) приобретет вид:     

 

.

(1.2.8)

 

     В соответствии с условием нормировки  можно записать:      

 

.

(1.2.9)

 

     В этой формуле  выбраны бесконечные пределы  интегрирования. Но, конечно, реальная скорость движения молекулы не может  достигать бесконечного значения, так  как её величина ограничена, в частности, совершенно невероятным случаем, когда кинетическая энергия одной молекулы приближается к суммарной кинетической энергии всех молекул газа. Тем не менее, вследствие резкого уменьшения подынтегрального выражения при , ошибки, связанные с бесконечным выбором пределов интегрирования, оказываются достаточно малыми.     

Для нахождения интеграла (1.2 и) можно использовать интеграл Пуассона:

,

(1.2.10)

 

     применение которого дает      

 

.

(1.2.11)

 

     Второе условие, которое может быть использовано для нахождения неизвестных констант, является следствием определения средней кинетической энергии молекул газа через его температуру для случая одномерного движения:

.

(1.2.12)

 

     Использование правила нахождения среднего значения дает

,

1.2.13)

 

     или с учетом формулы (5.52)     

 

.

(1.2.14)

 

     Интеграл в  выражении (5.55) может быть проинтегрирован по частям с использованием интеграла Пуассона:      

 

(1.2.15)

 

     Подстановка получившегося  выражения в (5.55) дает:

,

(1.2.16)

 

     или

.

(1.2.17)

 

     Соответственно  коэффициент  принимает вид

.

(1.2.18)

 

     Таким образом, функция  распределения значений проекции скорости приобретает форму     

 

,

(1.2.19)

 

     а функция распределения молекул газа по скоростям соответственно вид     

 

(1.2.20)

 

     или

.

(1.2.21)

 

     Функции (5.60) и (5.61) (или (5.62)) называются функциями распределения Максвелла. Качественно вид функции (5.60), изображенной на рис. 5.4, совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.

Рис.1.2.2  Распределение Максвелла

 

     Кроме полученного выше распределения  Максвелла  часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа. Для получения этого распределения запишем в общем виде вероятность того, что значения проекций скорости лежат внутри элементарного объема пространства скоростей :

.

(1.2.22)

 

     Учитывая  то, что эта вероятность зависит  только от величины скорости и не зависит  от её направления в пространстве, элементарный объем  можно считать имеющим форму шарового слоя со средним радиусом и толщиной . Указанная возможность связана с тем, что в любой точке на поверхности сферы, центр которой совпадает с началом координат пространства скоростей, значения скорости , а следовательно и функции , одинаковые. Считая шаровой слой тонким, и записывая его элементарный объем в виде: , выражение (5.63) может быть представлено в форме     

 

.

(1.2.22)

 

     Функция

(1.2.23)

 

     или

(1.2.24)

 

     называется  функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от до .     

На рис. 5.5 изображен  график функции распределения  . Максимум этой функции соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул газа , которую можно определить, приравняв к нулю производную от функции :     

 

.

(1.2.25)

 

     Отсюда  следует, что кроме случаев когда  и , соответствующих минимуму функции , имеется решение     

 

,

(1.2.26)

 

     дающее  выражение для наиболее вероятной  скорости молекул газа.

Рис. 1.2.3  Распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей

 

     Кроме наиболее вероятной скорости, функция  позволяет найти среднюю скорость     

 

(1.2.27)

 

     и среднее значение квадрата скорости      

 

.

(1.2.28)

 

     Вычисление  интегралов окончательно дает выражения  для средней скорости

(1.2.29)

 

     и для средней квадратичной скорости молекул     

 

.

(1.2.30)

 

     Формула (5.72) для средней квадратичной скорости может быть также получена на основании формулы (2.30), описывающей среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа (см. вывод формулы (2.35)).      

Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга на величину, меньшую, чем их значения, причем , что проиллюстрировано на рис. 5.5.     

Кроме функции распределения  по абсолютным значениям скорости применяется функция распределения по значениям кинетической энергии поступательного движения молекул , характеризующая вероятность попадания значений кинетической энергии в интервал :

.

(1.2.31)

 

     Приравняв вероятности  или , и используя подстановку и , имеем:     

 

.

(1.2.32)

 

     В заключении отметим, что все полученные распределения справедливы только для равновесного состояния термодинамической  системы. Вследствие достаточно общего метода их получения, они применимы  не только для газов, но и для любых  систем, движение микрочастиц которых описывается уравнениями классической механики.     

Задача 5.3. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии поступательного движения молекул газа, находящегося в равновесном  состоянии.     

Решение: Определим  производную функции и приравняем её нулю:

.     

Тогда имеем выражение  для наиболее вероятного значения кинетической энергии:

.     

Из полученного  выражения следует, что наиболее вероятное значение кинетической энергии  поступательного движения в три  раза меньше среднего значения этой энергии молекул газа.

1.3.Распределение Больцмана

 

При статистическом описании распределения  микрочастиц в пространстве координат  , и обычно используется не функция распределения , а концентрация , которая определяется формулой:

,

(5.11)

 

     где - полное число микрочастиц в объеме системы.      

Введение концентрации микрочастиц  в качестве основной функции при статистическом описании их распределения в пространстве связано с тем, что именно она обычно выступает непосредственно измеряемой величиной, а не функция распределения , описывающая вероятность нахождения одной микрочастицы в той, или иной точке пространства.     

Формула для нахождения среднего значения какой либо функции  при использовании концентрации отличается от выражения (5.6) и имеет вид:

,

(5.12)

 

     где - объем термодинамической системы.     

Если на систему  не действуют внешние силы и она  находится в состоянии термодинамического равновесия, то концентрация микрочастиц будет одинакова во всех точках системы: . В случае, когда на микрочастицы системы воздействует внешнее силовое поле, например, гравитационное, то их концентрация становится различной в разных точках пространства. При этом состояние термодинамического равновесия должно сохраняться.     

Рассмотрим случай нахождения идеального газа во внешнем  гравитационном поле. При нахождении концентрации молекул газа во внешнем поле будем исходить из предположения, что любой бесконечно малый объем газа находится в состоянии механического равновесия, а температура газа во всех точках одинакова. Только при выполнении этих условий состояние газа можно считать равновесным, так как иначе в газе возникли бы потоки вещества и теплоты, что сделало бы состояние газа неравновесным.     

Пусть гравитационное поле однородно, а ось  направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты : . На рис. 5.1 схематически изображен бесконечно малый выделенный объем газа , находящийся в равновесии. Снизу на этот выделенный объем газа воздействует давление , а сверху - соответственно давление . Условие механического равновесия для объема газа запишется в виде:

(5.13)

 

     или     

 

,

(5.14)

 

     где: - плотность газа, - ускорение свободного падения, - масса одной молекулы газа.

Рис.5.1.  Схема к расчету равновесия газа в однородном гравитационном поле

 

     Подстановка в  формулу (5.14) выражения для плотности газа

,

(5.15)

 

     которое является следствием основного уравнения  молекулярно-кинетической теории (2.32):

,

(5.16)