Силы всемирного тяготения

После смерти Исаака Ньютона (1727 г.) закон  всемирного тяготения подвергся  новым испытаниям. Последним серьезным  возражением против закона всемирного тяготения считают публикацию французского математика и астронома Алексиса-Клода Клеро в 1745 г. Некоторые детали вычисленной им орбиты Луны, по его мнению, требуют исправления закона всемирного тяготения.

Одной из важнейших проблем А. Клеро  считал теорию движения Луны на основе закона всемирного тяготения Ньютона, точнее – исследование того неравенства, «которое получило у Ньютона наиболее темное развитие, именно, движение лунного  перигея». Оригинальный самостоятельный  путь исследований А. Клеро приводит к тому же значению, которое получил  в свое время сам Ньютон, расходившееся  с наблюдаемыми данными почти  в два раза. К таким же выводам  пришел независимо другой исследователь  Жан Лерон Даламбер (1717...1783). Он, как и А. Клеро пришел к выводу, что под действием ньютонова притяжения перигей орбиты Луны должен был завершать одно обращение за 18 лет, а не за 9 лет, как происходит в действительности.

Независимо  друг от друга А. Клеро и Ж. Даламбер, занимающиеся исследованием в области  ньютоновской механики и теории тяготения, пришли к одинаковому выводу о том, что теория Ньютона не способна объяснить движение перигея Луны и требует внесения поправок. Такой путь подсказал еще сам Ньютон.

Небольшая поправка А. Клеро формы всемирного закона тяготения Ньютона была представлена в следующем виде:

 

(2)

где M и  m – массы двух тел;

R –  расстояние между ними;

γ –  гравитационная постоянная;

n – n > 2 (например, n = 3, n = 4);

α –  малая величина, подбираемая опытным  путем.

Высказывание  Ж. Даламбера также свидетельствует  о необходимости дополнительного  члена: «Луна притягивается к  Земле еще другой, небольшой по величине силой, действующей не по закону обратной пропорциональности квадратам  расстояний».

Против  вывода А. Клеро и Ж. Даламбера  выступил известный французский  естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707...1783). Он своим авторитетом спас формулу  Ньютона от коррекции, заявив, что  нам предлагают нечто произвольное, вместо того, чтобы воспроизводить истину». По его мнению после первого изменения впоследствии могли бы беспрепятственно возникнуть и последующие члены. «Всякий физический закон лишь потому является законом, что его выражение обладает единственностью и простотой» – заявил Ж. Бюффон.

До настоящего времени считают, что Клеро перепроверил свои результаты и обнаружил ошибку. С этой точкой зрения мы не можем  согласиться. В рамках своей чисто  аналитической модели он действительно  исправил противоречия в своей модели, и нетронутой оставил несовершенство в законе всемирного тяготения Ньютона. На наш взгляд А. Клеро не стал противопоставлять  себя авторитету самого Ньютона, его  последователям и вышел на самостоятельный  путь исследования. Он не стал уточнять формулу закона всемирного тяготения  и тем самым избежал ожидавших  его в будущем возможных острых дискуссий. Как покажет история, данная стратегия оправдала себя. А. Клеро выиграет конкурс объявленный  в 1750 г. Петербургской академией, получит  восторженные отзывы современников, издаст книгу «Теория движения Луны, выведенная из единственного принципа притяжения, обратно пропорционально квадратам  расстояний» в 1752 г. и будет избран член- корреспондентом Петербургской академии наук в 1754 г.

Все силы А. Клеро были сосредоточены на выполнение собственной программы исследований: «После долгих размышлений над теорией  Ньютона и не достигнув той степени убежденности, которой я ожидал, я решил больше ничего у него не заимствовать и самостоятельно искать определения движения небесных тел, при единственном допущении об их взаимном притяжении». Данный подход позволил ему построить чисто аналитическую модель гравитационного взаимодействия.

С тех  пор прошло 350 лет. Закон всемирного тяготения  в первозданном виде благополучно встретил 2 тысячелите. Сомнения А. Клеро и Ж. Даламбера относительно закона всемирного тяготения Ньютона, на наш взгляд, так и не рассеялись. Последовательность следующих рассуждений приводит нас к неожиданным результатам.

Рассмотрим  так называемый Уточненный закон  всемирного тяготения.

Два материальных тела М и m притягивают друг друга с одинаковой силой F. Гравитационное поле массы М вызывает ускорение m:

g = γ · (M / R2).

Соответственно  масса m вызывает ускорение М:

g = γ · (m / R2).

Относительное ускорение двух тел М и m gот равное разности gM – gm, а так как gM и gm направлены в противоположные стороны, то gот равно сумме ускорений gM и gm:

(3)

 
Следовательно, ускорение при относительном  движении двух притягивающихся материальных тел M и m мы можем считать, что сила исходит из неподвижного центра и можно исследовать движение только одного тела.

Поясним это на следующем примере и  на практике проверим адекватность формулы (3) окружающей действительности. На поверхности  Земли, то есть на расстоянии 6371,032 км от ее центра, ускорение gЗем = 9,81 м/с2. Ускорение, вызываемое притяжением Земли на расстоянии r = 384400 км до Луны должно уменьшится в 3844002 / 6371,0322 = 3640,38 раз. Ускорение Луны, вызываемое притяжением Земли равно:

gЗемля-Луна = 9,81 м/с2 / 3640,38 = 0,2695 см/с2.

Соответственно  на поверхности Луны, на расстоянии r = 1738 км от ее центра, ускорение gЛуна = 1,62 м/с2. Это ускорение, вызываемое притяжением Луны на расстоянии r = 384400 км до Земли должно уменьшится в 3844002 / 17382 = 48917,83 раз.

Ускорение Земли, вызываемое притяжением Луны равно:

gЛуна-Земля = 1,62 м/с2 / 48917,83 = 0,0033 см/с2.

Относительное ускорение Луны gот будет равно сумме ускорений

gот = gЗемля-Луна + gЛуна-Земля = 0,2695 см/с2 + 0,0033 см/с2 = 0,2728 см/с2.

Полученное  значение относительного ускорения  Луны gот можно проверить следующим способом. Предполагая, что Луна движется по окружности вычислим ее действительное ускорение по формуле:

Gот = V2 / r ,

где V –  скорость движения Луны по орбите;

r – расстояние от Земли до Луны.

Скорость  движения Луны по орбите V можно вычислить  по формуле:

V = (2πr) / T ,

где T –  звездный период обращения Луны, Т = 27,3 суток;

r – расстояние от Земли до Луны (r = 384400 км).

Вычислим  значение V и Gот:

V = (2 ·  3,14 · 384400 км) / 2358720 сек = 1,02345 км/сек

Gот = (1,02345 км/сек)2 / 384400 км = 0,2725 см/сек2.

Расчеты показывают, что Gот = gот и относительная погрешность этих двух показателей составляет Gот – gот = 0,2728 см/сек2 – 0,2725 см/сек2 = 0,0003 см/сек2 или 0,12%.

Численные расчеты gот на реальных данных Земли и Луны подтверждают адекватность формулы (3) окружающему миру.

Рассмотрим  теперь движение тела m относительно M. Величина силы F действующая между m и M равна произведению массы m на относительное ускорение gот:

 
(4)

Формулу (4) можно представить в виде суммы  двух членов:

 
(5)

Первый  член совпадает с формулой (1) –  закона всемирного тяготения, а в  целом формула (5) напоминает формулу (2), которую в свое время предложил  А. Клеро с целью корректировки  всемирного закона Ньютона.

Если  m значительно меньше чем M, т.е. m << M, то значение второго члена относительно первого несущественна. Как известно, Ж. Бюффон в свое время отверг формулу (2) из-за того, что А. Клеро добавил второй член произвольно, то в нашем случае в формуле (5) первый и второй член выведены из окружающего нас мира. Поэтому мы вправе сказать о том, что закон всемирного тяготения Ньютона является частным случаем формулы (4) и (5).

Первое  слагаемое формулы (5) не вызывает вопросов. Это закон всемирного закон тяготения  Ньютона. Перейдем к анализу второго  слагаемого. Почему в числителе второго  слагаемого произведение m · m, а не M · M? Действие М уже проявилось в первом слагаемом, оно породило гравитационный потенциал (γ · М) / R2 и на этом ее роль закончилась. Второе слагаемое раскрывает сущность гравитационного потенциала второго тела m и оно равно (γ · m) / R2. Теперь осталось вычислить силу во втором слагаемом и для этого по традиционной схеме необходимо (γ · m) / R2 умножить на М, т.е. мы получим (γ · m · М) / R2 опять всемирный закон тяготения Ньютона! Но это противоречит формуле (4), который был получен нами аналитически из расчетов ускорений между Землей и Луной. На самом деле реальная сила будет равна (γ · m · m) / R2. Здесь мы подходим к факту, гравитационный потенциал порождаемый телом m вызывает ускоренное движение самого тела m в сторону М. И это не противоречит третьему закону Ньютона. Тело m движется равноускоренно в сторону М и соответственной М движется равноускоренно в сторону m. Но так как m значительно меньше М сила выраженная в форме (γ · m · m) / R2 объективно отражает силу, которая порождается массой m. Массу М можно охарактеризовать как центральное тело, вокруг которого движется тело m. То тело, которое движется относительно центрального тела будет являться критерием выбора его во второе слагаемое.

Теперь  сформулируем новый уточненный закон  всемирного тяготения:

каждые  две частицы материи притягивают  взаимно друг друга, или тяготеют друг другу, с силой, прямо пропорциональной произведению суммы двух масс на массу  тела, движущуюся относительно центральной  массы и обратно пропорционально  квадрату расстояния между ними (4).

С точки  зрения теории и методологии изучения закона гравитации переход от формулы (1) к (4) наиболее полно раскрывает сущность закона всемирного тяготения. Из формулы (1) мы видим только гравитационное действие одного тела M либо m, в то же время формула (4) отражает взаимное гравитационное действие двух тел M и m одновременно.

Небольшая поправка к закону всемирного тяготения  Ньютона ведет к интересным последствиям. Что следует из формулы (4)? Для  этого нам следует поспешить  на знаменитую Пизанскую башню, пока она не упала и повторить опыт Галилея. Результат будет следующий – вопреки общепринятому мнению, более тяжелое тело достигнет Земли быстрее! Опыт осуществить несложно, только хлопоты будут создавать толпы туристов, которых не было в XVI веке.

Эта поправка еще более ярко проявляется при  m = M. Значение силы F вычисленное по формуле (4) F = γ · 2М2 / r2 больше в два раза чем значение силы рассчитанной по формуле (1) F = γ · М2 / r2.

Прав  был Аристотель, утверждая, что падение  массы золота или свинца, или какого-нибудь другого тела происходит тем быстрее, чем больше его размер! К этому  выводу пришел и Леонардо да Винчи. Великий художник и ученный бросал тела разного веса и пришел к такому же результату: скорость падения тела зависит от веса тела.

Из формулы (4) следует неаддитивность силы тяжести. Рассмотрим это на примере силы тяжести двух тел m1 и m2 относительно земли. Тело m1 действует на землю силой F1 и второе тело m2 действует соответственно с силой F2. Складывая массы двух тел m1 и m2 получим третье тело m3, где m3 = m1 + m2. Оно также действует на землю силой равной F3. Для нашего примера нарушение аддитивности силы тяжести означает:

F1 + F2 < F3

(6)

Если  придерживаться традиционной формулы (1), то аддитивность не нарушается и для сил тяжести выполняется условие:

F1 + F2 = F3

(7)

С появлением формулы (4) равенство (7) уступает место  неравенству (6), как следствие нового научного факта.

Гениальный  физик Эйнштейн придавал исключительное значение свойству тяготения следуя за Галилеем и утверждая, что все тела в данной точке пространства падают в поле тяготения с одинаковым ускорением. Это утверждение в классической физике являлось одним из фактов – в некотором смысле даже случайным и не играл высокой роли в том, что составляло идейную основу механики Галилея – Ньютона. Однако этому свойству Эйнштейн придает исключительно важное и самое общее значение, отводит ему место среди «принципиальных вещей» новейшей физики и ставит его рядом с принципом относительности.

Интерес Эйнштейна к тяготению не случаен, ибо он связан непосредственно с  принципом эквивалентности. Как  известно массы в физике рассматриваются  в двух формах: инертной и гравитационной. Падение всех тел с одинаковым ускорением является достаточным условием равенства гравитационной и инертной массы. Данное равенство возведено  Эйнштейном в ранг фундаментального принципа его теории. Совпадение – эквивалентность этих масс составляет содержание эйнштейновского принципа эквивалентности.