Силы всемирного тяготения

Дадим вначале определение закону Всемирного тяготения Ньютона и основным величинам в нем применяемым, а в последствии рассмотрим что именно привело к открытию этого закона, и действительно ли яблоку мы обязаны появлению этого величайшего открытия.

1. Между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними

F12 = g (m1m2/R2) R12/R

где F12 - сила тяготения, действующая на точку с массой m1, R12 - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку, обладающую массой m2, R = |R12| - расстояние между точками. Коэффициент g называется гравитационной постоянной (постоянной тяготения). Он численно равен силе взаимного притяжения между двумя материальными точками, которые обладают одинаковыми массами, равными единице массы, и находятся друг от друга на расстоянии, равном единице длины. Гравитационная постоянная определяется опытным путем. Ее численное значение зависит только от выбора системы единиц измерения:

g = 6.67*10-11 Н*м2/кг2 = g = 6.67*10-8 дин*см2/г2

По третьему закону Ньютона сила F21 действующая па материальную точку с массой m2 численно равна силе F12, но направлена в противоположную сторону:

F12 = - F21

2. Весом тела называется сила Р, с которой неподвижное относительно Земли тело давит на опору вследствие притяжения его к Земле. Вес тела равен векторной разности силы F тяготения тела к Земле и центростремительной силы Fц обусловливающей участие тела в суточном вращении Земли:

P = F - FЦ

причем

Fц = mw2 Rcos j,

где m - масса тела, w - угловая скорость суточного вращения Земли, R - радиус Земли, а j - географическая широта места наблюдения А.

На географических полюсах (j  = 90°) FЦ = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что радиус Земли и центростремительная сила зависят от географической широты, вес тел максимален на полюсах и минимален на экваторе. Однако это различие не превышает 0,55%. Поэтому во многих технических задачах можно пренебречь влиянием на вес тела суточного вращения Земли и отличием ее формы от сферической.

Центром тяжести тела называется точка приложения равнодействующей сил веса всех частиц этого тела. Центр тяжести тела совпадает с его центром инерции.

3. Свободным падением называется движение тела под действием единственной силы, равной его весу. Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и так же, как их вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g, принятое для барометрических расчетов и при построении систем единиц, равно 9.80665 м/сек2.

Закон всемирного тяготения был открыт англичанином И. Ньютоном в 1666г. Закон  звучит следующим образом: сила гравитационного  притяжения двух материальных точек  прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна  квадрату расстояния между ними.

Закон справедлив и для протяженных  тел со сферически-симметричным распределением массы, при этом r - расстояние между центрами симметрии тел. Для несферических тел закон соблюдается приближенно, причем тем точнее, чем больше расстояние между телами (между их центрами масс) по отношению к размерам тел.

Все это  нам хорошо известно, и кажется без математических выкладок добавить больше нечего нужно. Но это не так. В Астрономии, например, очень важно проследить некоторые явления и сделать определенные выводы и следствия из этого закона.

Согласно  формуле F = G*m1*m2/r2

где r - расстояние между телами, а G - гравитационная постоянная, сила притяжения пропорциональна массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Но масса пропорциональна кубу линейного размера тела. Это означает, что если размеры тел и расстояния между ними (при сохранении их плотностей) пропорционально увеличить, например, в 10 раз, то их массы возрастут в 1000 раз, а квадрат расстояния - только в 100, поэтому сила притяжения увеличится в 10 раз! То есть при увеличении масштаба масса растет на порядок быстрее, чем квадрат расстояния! Из-за ничтожного значения гравитационной постоянной силы притяжения между отдельными предметами на поверхности Земли крайне малы по сравнению с силой притяжения самой Земли, но уже в межпланетных масштабах (сотни миллионов километров) увеличение масс компенсирует G и гравитация становится главной силой. При уменьшении масштабов проявляется обратный эффект, хоть это уже из биологии. Если, к примеру, уменьшить человека до размеров муравья, т.е. примерно в 100 раз, то его масса уменьшится в 1 000 000 раз. А поскольку сила мышц примерно пропорциональна их поперечному сечению, т.е. квадрату линейного размера, то она уменьшится только в 10 000 раз, т.е. будет 100-кратный выигрыш в силе! Нетрудно догадаться, что фактически насекомые обитают в условиях сильно пониженной по сравнению с более крупными животными гравитации. Поэтому вопрос о том, какой вес смог бы поднять муравей, если бы был размером со слона, просто не имеет смысла. Строение тела насекомых и вообще всех мелких животных оптимально именно для пониженного тяготения, и ноги у муравья просто не выдержат веса тела, не говоря уже о каком-то дополнительном грузе. Так сила тяжести накладывает ограничения на размеры наземных животных, и самые крупные из них (например, динозавры), по-видимому, существенную часть времени проводили в воде. Летательные способности в животном мире также ограничены массой тела. Не только сила мышц, но и площадь крыльев растет пропорционально квадрату линейных размеров, т.е. для при некоторой предельной массе тела полеты становятся невозможными. Эта критическая масса составляет примерно 15-20 кг, что соответствует весу самых тяжелых из земных птиц. Поэтому очень сомнительно, что древние гигантские ящеры действительно могли летать; скорее всего, их крылья позволяли им только планировать с дерева на дерево.

И замечание  не совсем по теме. Достаточно распространено мнение, что занятия тяжелой атлетикой  замедляют рост спортсменов, поэтому, мол, среди тяжелоатлетов так  много низкорослых. На самом деле низкорослость штангистов действительно  наблюдается, но только в ограниченных весовых категориях, особенно среди  легковесов. В одной книжке по атлетизму  приводится даже пояснение, что низкорослые побеждают чаще оттого, что им приходится поднимать штангу на меньшую высоту. На мой взгляд, такой довод совершенно неубедителен. Но предлагается и следующее объяснение. Каждый тип ткани (мышцы, кости, кожа, жировая прослойка и т.д.), из которых состоит тело, составляет определенный процент от его общего веса. И если предположить, что эти пропорции одинаковы для двух человек разного роста, то более низкий человек, естественно, будет весить меньше. Однако если он за счет мышц наберет такую же массу тела, что и высокий, то это будет означать, что абсолютная мышечная масса у него больше (поскольку немышечной ткани у него просто меньше по определению). А больше мышечная масса - больше сечения мышц, и, следовательно, в этих условиях при равной массе тела низкий тяжелоатлет действительно сильнее высокого, поэтому последние просто отсеиваются.

 
Рис. 1 Приливные силы.

Однако  вернемся к астрономии. Если рассмотреть  действие силы тяготения тела О (условно изобразим его точкой) на протяженное тело с центром Q (рис. 1), то можно заметить, что на разные части тела действуют разные силы. Так, самая близкая точка В будет притягиваться сильнее, чем самая далекая А (из-за различия в расстояниях), поэтому вдоль линии QO, соединяющей центры тяжестей обеих тел, тело О будет стремиться растянуть отрезок АВ. На точки С и D, удаленные от линии OQ, сила притяжения будет действовать под углом к линии QO, и эту силу можно разложить на две компоненты: одна направлена параллельно направлению QO, а другая - перпендикулярно к нему - по направлению к центру тела Q. То есть на точки, не лежащие на оси OQ, действует сила, стремящаяся сжать тело в направлении, перпендикулярном направлению на притягивающее тело О. Эти силы растяжения и сжатия называются приливными силами. Их действие на Землю со стороны Луны и Солнца вызывает (как нетрудно догадаться по названию) приливы и отливы.

Чтобы оценить высоту приливной волны  на Земле, можно произвести вычисления, подобные оценке сжатия Земли. Для простоты забудем о суточном вращении Земли  и предположим, что вся ее несферичность вызвана притяжением Луны. Приравнивая вес каждого элементарного объема, находящегося на расстоянии r от центра Земли на ее радиусе, перпендикулярном направлению на Луну и направленном на Луну, получим:

m*gп(r) = m*gл(r) - G*m*Mл/b2

где gп(r) - ускорение свободного падения на радиусе, перпендикулярном направлению на Луну, gл(r) - ускорение на радиусе, направленном на Луну, Mл - масса Луны, b - расстояние до Луны, равное разности большой полуоси a орбиты Луны и радиус-вектора r. Зависимость ускорения свободного падения на обеих радиусах одинакова: gп(r) = gл(r) = GM/r2, где М - масса, заключенная внутри радиуса r : M(r) = r*4*p*r3/3, где r - плотность вещества. Если все это подставить в уравнение, сократить на m и G и принтегрировать по всему радиусу Земли, то получится:

Rп2 = Rл2 - Mл/2/p/r*(1/a - 1/(a-Rл)). Если подставить сюда значения радиуса Земли, массы и большой полуоси Луны, получится Rл - Rп ~ 7.3 м, что намного больше высоты реальной приливной волны, однако можно предположить, что в действительности из-за вращения твердая оболочка Земли не успевает изменять свою форму, и реально приливную волну образуют в основном водная и воздушная оболочка, а полная амплитуда колебания твердой коры не превышает одного метра.

Для планет приливные силы ограничивают минимальное  расстояние, на которое к ним может  приблизиться достаточно крупное тело, например, спутник. Очень эффектно это  проявились при недавнем падении  кометы Шумейкеров-Леви на Юпитер, когда ядро кометы разорвало на множество частей, падение которых вызвало столько откликов в научном мире. Минимальный радиус круговой орбиты, на которой спутник не разрушается под действием приливных сил центрального тела, называется пределом Роша. Если масса спутника намного меньше массы планеты, то зависимость предела Роша aR от радиуса планеты R, плотностей спутника rs и планеты rp выглядит следующим образом:

aR = 2.46*(rs/rp)1/3*R (5)

Внутри  сферы с радиусом aR невозможна также гравитационная конденсация вещества с образованием единого тела. Такова, вероятно, причина образования колец планет-гигантов.

Теперь  обратимся к истории, и рассмотрим события тех далеких времен на заре науки. Закон всемирного тяготения  был открыт Исааком Ньютоном в 1682 г. Еще в 1665 г. 23-х летний И. Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что  и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми  телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс. У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром  шара. В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение  для гравитационных сил. Зная как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.

На фоне впечатляющих успехов современной  физики, гравитация остается самым  загадочным природным явлением. Величие  гравитации заключается в том, что  ей подчиняется все существующее на свете, начиная от самой вселенной  и кончая ее составляющими элементами. Впервые наиболее полно это и было осознанно великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643...1727). В 1687 г. Ньютон опубликовал свой знаменитый труд «Математические начала натуральной философии», раскрывший человечеству впервые теории движения планет и основы гравитации. Закон всемирного тяготения Ньютона, который стал первым научным законом, действующий во всей Вселенной гласит: каждые две частицы материи притягивают взаимно друг друга, или тяготеют друг другу, с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

 
(1)

Современники  Ньютона не сразу осознали величие  гравитации. Христиан Гюйгенс, которого сам Ньютон называл великим ученым писал: «Мысль Ньютона о взаимном притяжении, я считаю нелепой и удивляюсь, как человек подобно Ньютона, мог сделать столь трудных исследований вычислений, не имеющих в основании ничего лучшего, чем эта мысль».

Мысль о том, что небесные тела обладают свойством притягивать, высказывали  ранее до Ньютона Николай Кузанский, Леонардо да Винчи, Коперник и Кеплер. «Тяжесть есть взаимная склонность между  родственными телами, стремящими слиться, соединиться воедино... В какое  место мы ни поместили бы Землю, тяжелые  тела вследствие природной им способности  будут всегда двигаться к ней... Если бы в каком-нибудь месте мира находились два камня на близком  расстоянии друг от друга и вне  сферы действия какого бы ни было родственного им тела, то эти камни стремились бы соединиться друг с другом подобно двум магнитам...» – писал в своей книге «Новая астрономия» Кеплер. Гениальные высказывания Кеплера были лишь только началом большого пути, которое стоило еще преодолеть. Из множества исследователей этот трудный путь суждено было пройти Ньютону.

Триумфальному шествию закона всемирного тяготения  предшествовал нелегкий период его  становления. К идее всемирного тяготения  несколько раньше Ньютона пришел Роберт Гук (1635...1703). Между Гуком и  Ньютоном шел долгий спор о приоритете в открытии закона всемирного тяготения. В отличие от высказываний Гука, Ньютон разработал математическую теорию тяготения и доказал численными методами действие закона тяготения. Взгляды  на гравитацию своих предшественников Ньютон отобразил одной формулой (1), которая является математической моделью гравитационного взаимодействия двух материальных тел.