Принципы теоретической физики

48

ной системы” системе  координат движение происходит так  же, как оно бы происходило в  однородном гравитационном поле относительно “покоящейся” системы координат. Если допустить, что эквивалентность этих двух масс является полной, то этим добиваемся приспособления нашей теоретической мысли к тому факту, что тяжелая и инертная массы тождественны,Отсюда вытекает, что нет никаких доводов считать преиму-щественность “инерциальных систем” фундаментальным принципом, и мы должны допустить, что нелинейные преобразования координат х₁ , х₂, х_{3 ,} х₄ тоже с полным правом являются эквивалентными. Если произвести такое преобразование системы координат специальной теории относительности, то метрика

ds² = dх²₁ + dх²₂ + dх²₃ — dх²₄   

становится общей (римановой) метрикой Бана ds² = g _μ,ν dх_μ dх_ν (суммирование по μ и ν ), где g _μ,ν симметричные относительно μ и ν , являются некоторыми функциями х₁ , х₂, х_{3 ,} х₄, которые описывают одинаково хорошо как метрические свойства, так и гравитационное поле относительно новой системы координат.

Прогресс в  трактовке основ механики, о котором  мы говорили, имеет, однако, как показывает более тщательный анализ, то неудобство, что новые координаты не могут быть интерпретированы как результаты измерений с помощью твердых тел и часов, как это делалось в исходной системе (инерциальной системе с исчезающим гравитационным полем).

Переход к общей  теории относительности осуществляется с помощью предположения, что указанное представление свойств поля пространства с помощью функций g _μ,ν (т. с. римановой метрикой) обосновано и в общем случае, когда не существует системы координат, относительно которой метрика приобретает простую квазиевклидову форму специальной теории относительности.

Другими словами, координаты сами по себе уже не выражают метрических соотношений, а только “близость” описанных предметов, координаты которых мало отличаются друг от друга. Все преобразования координат допустимы постольку, поскольку эти преобразования свободны от сингулярностей. Только уравнения, являющиеся ковариантными относительно произвольных в этом смысле преобразований, имеют смысл выражений общих законов природы (постулат общей ковариантности).

Первой целью  общей теории относительности является установление предварительной формулировки, которую, пренебрегая требованием, чтобы она сама по себе составляла нечто завершенное, можно было возможно проще связать с “непосредственно наблюдаемыми фактами”. Теория гравитации Ньютона дала подобный пример, ограничившись чистой механикой тяготения. Эта предварительная формулировка может быть охарактеризована следующим образом.

49

1. Понятие материальной  точки и ее массы сохраняется.  Формулируется закон ее движения, являющийся переводом закона инерции на язык общей теории относительности. Этот закон представляет собой систему уравнений в полных производных, характеризующей геодезическую линию.

2. Вместо ньютоновского  закона гравитационного взаимодействия, мы найдем систему наиболее простых общековариантных дифференциальных уравнений, которую можно установить для тензора g_μν . Она образуется сведением к нулю однократно свернутого тензора кривизны Римана (R _μν = 0).

Эта формулировка позволяет рассматривать проблему планет. Точнее говоря, она позволяет рассматривать проблему движения материальных точек с практически пренебрегаемой массой в поле тяготения, образованном материальной точкой, которую предполагают не обладающей никаким движением (центральная симметрия). Она не учитывает реакции материальных точек, “движущихся” в гравитационном поле, и не принимает во внимание, каким образом центральная масса образует это поле.

Аналогия с  классической механикой показывает, что теорию можно дополнить следующим  образом. Возьмем уравнение поля

R_jk — 0.5 g_jk R = — T_jk

где R_jk обозначает скаляр римановой кривизны, T_jk — тензор энергии материи в феноменологическом представлении. Левая часть уравнения выбрана таким образом, что ее дивергенция тождественно равна нулю. Вытекающее отсюда равенство нулю дивергенции правой части дает “уравнения” материи в форме уравнений в частных производных для случая, когда T_jk вводит для описания материи только четыре функции, совершенно независимых друг от друга (например, плотность, давление и компоненты скорости, где между последними существует тождество, а между давлением и плотностью — уравнение условий).

При такой формулировке вся механика тяготения сведена  к решению одной системы ковариантных уравнений в частных производных. Эта теория избегает всех внутренних противоречий, в которых мы упрекали классическую механику. Она достаточна, насколько мы знаем, для выражения наблюдаемых фактов небесной механики. Но она похожа на здание, одно крыло которого сделано из изящного мрамора (левая часть уравнения), а другое — из плохого дерева (правая часть уравнения). Феноменологическое представление материи лишь очень несовершенно заменяет такое представление, которое соответствовало бы всем известным свойствам материи.

Нетрудно объединить теорию электромагнитного поля Максвелла и теорию гравитационного поля, если ограничиваться пространством, свободным от весомой материи и электрической плотности. Все, что необходимо сделать,— это взять во втором члене приве-

50

денного выше уравнения  для T_jk тензор энергии электромагнитного поля в пустом пространстве и присоединить к системе так измененных уравнений записанное в общековариантной форме уравнение поля Максвелла для пустого пространства. При таких условиях между всеми этими уравнениями будет существовать достаточное для обеспечения их прочности число дифференциальных тождеств. Можно добавить, что это необходимое формальное свойство всей системы уравнений оставляет произвольным выбор знака T_jk , что окажется важным в дальнейшем.

Результатом желания  достигнуть для фундамента теории наибольшей возможной степени единства были различные попытки объединить гравитационное и электромагнитное поля в единую формальную и однородную картину. Здесь мы должны отметить, в частности, пятимерную теорию Калуза и Клейна. Рассмотрев весьма тщательно эту возможность, я нахожу, что предпочтительнее согласиться с отсутствием внутренней однородности первоначальной теории, ибо не думаю, чтобы совокупность гипотез, составляющих основу пятимерной теории, содержала меньше произвольности, чем первоначальная теория. То же замечание может быть сделано и относительно проективной разновидности теории, весьма тщательно разработанной, в частности, Дантцигом и Паули.

Предыдущие рассуждения  относятся исключительно к теории поля, свободного от материи. Как нужно поступить, исходя из этого, чтобы получить полную теорию для материи, состоящей из атомов? В такой теории сингулярности безусловно должны быть исключены, потому что без такого исключения дифференциальные уравнения не определяют полностью общее поле. Здесь, в общей теории относительности, мы встречаемся с той же проблемой теоретического представления поля, которая впервые появилась в связи с чисто максвелловской теорией.

Попытка построения частиц, исходя из теории поля, очевидно, вновь ведет к сингулярностям. И здесь была сделана попытка исправить недостаток путем введения новых переменных поля, переработав и расширив систему уравнений поля. Между тем я, в сотрудничестве с доктором Розеном, недавно открыл, что вышеотмеченное простейшее сочетание уравнений гравитационного и электромагнитного полей дает центрально-симметричные решения, которые можно представить свободными от сингулярностей (хорошо известные центрально-симметричные решения Шварцшильда для чисто гравитационного поля и Рейснера для электрического поля с учетом его гравитационного действия). Мы еще вернемся к этому в параграфе 6. Таким образом, представляется возможным получить для материи и ее взаимодействий чисто полевую теорию, избавленную от дополнительных гипотез,— теорию, которая к тому же может быть экспериментально проверена и которая в конце концов подвержена лишь математическим трудностям, правда, очень серьезным.

51

§ 5. Теория квант и  основы физики

Физики-теоретики  нашего поколения ожидают, что для  физики будет построена новая теоретическая основа, которая воспользуется фундаментальными представлениями, значительно отличающимися от представлений рассмотренной до сих пор теории поля. Основанием для этого служит признание необходимости использования новых методов исследования при математическом представлении явлений, получивших название квантовых.

Тогда как недостатки классической механики, выявленные теорией  относительности, связаны с конечностью  скорости света (исключается ее бесконечность), в начале нашего века было обнаружено, что между выводами механики и результатами опыта существуют другие противоречия, которые связаны с конечным значением (исключается равенство нулю) постоянной Планка h. В частности, молекулярная механика требует, чтобы теплоемкость и плотность излучения (монохроматического) твердых тел убывали пропорционально уменьшению их абсолютной температуры; опыт показал, что эти величины убывают быстрее абсолютной температуры. Для теоретического объяснения их поведения необходимо предполагать, что энергия механической системы может принимать не любые, а только определенные дискретные значения, математическое выражение которых всегда зависит от постоянной Планка h. Больше того, эта концепция была существенно важной для теории атома (теория Бора). Для перехода атомов из одного состояния в другое — с излучением или поглощением и без них — нельзя было указать никакого каузального закона, а только статистический; к такому же заключению пришли и для радиоактивного распада атомов, который тоже тщательно изучался в эту эпоху. Более двух десятилетий физики безуспешно пытались найти единую интерпретацию этого “квантового характера” определенных групп явлений. Такая попытка увенчалась успехом около 10 лет назад путем использования двух совершенно различных теоретических методов. Одним из этих методов мы обязаны Гейзенбергу и Дираку, другим — Л. де Бройлю и Шредингеру. Математическая эквивалентность обоих методов была вскоре доказана Шредингером. Хочу попытаться наметить ход мыслей Л. де Бройля и Шредингера, который ближе к способу мышления физиков, а затем изложить некоторые общие соображения.

Вначале вопрос ставится так: каким образом можно  определить для системы дискретный ряд значений энергии Н_σ , определяемой в смысле классической механики (энергия является заданной функцией координат q_r и соответствующих количеств движения р_r )? Константа Планка h, связывает частоту Н_σ/h со значениями энергии Н_σ . Следовательно, достаточно дать системе ряд дискретных значений частоты. Это напоминает нам, что в акустике ряд дискретных значений частоты соответствует линейному урав-

52

нению в частных  производных (если граничные условия  заданы), т. е. периодическим синусоидальным решениям. Аналогичным способом Шредингер  поставил себе задачу сопоставить заданной функции энергии ε (q_r, р_r ) уравнение в частных производных для некоторой скалярной функции ψ, где q_r и время t являются независимыми переменными. Ему это удалось (для комплексной функции ψ ) в том смысле, что теоретические значения энергии Н_σ , указанные статистической теорией, действительно вытекают удовлетворительным образом из периодического решения уравнения.

Само собой  разумеется, что было невозможно сопоставить  определенному решению ψ( q_r , t ) уравнения Шредингера определенное движение материальных точек в механическом смысле. Это означает, что функция ψ не определяет, по крайней мере точно, историю q_r как функции времени. Однако, следуя Борну, физическое значение функций ψ может интерпретировать следующим образом: ψψ (κвадрат абсолютного значения комплексной функции ψ) является плотностью вероятности конфигураций q_r в момент t в рассматриваемой точке конфигурационного пространства. Следовательно, содержание уравнения Шредингера можно характеризовать следующим, легко понимаемым, но не совсем точным образом: оно определяет изменение во времени плотности вероятности статистического ансамбля систем в пространстве конфигураций. Короче говоря, уравнение Шредингера определяет изменение во времени функции ψ от q_r .

Необходимо отметить, что результаты этой теории содержат результаты механики точки как предельные значения, когда длина волны, с которой встречаются при решении задачи Шредингера, повсюду столь мала, что потенциальная энергия меняется практически бесконечно мало при изменениях порядка одной длины волны в конфигурационном пространстве. При этих условиях ясно выделяется следующее: выберем в конфигурационном пространстве область G₀, большую (по всем размерам) относительно длины волны, но малую по сравнению с практическими размерами конфигурационного пространства. При этих условиях возможно выбрать функцию ψ так, что для начального момента t₀ она исчезает вне области G₀ и ведет себя, в соответствии с уравнением Шредингера, таким же образом, по крайней мере приближенно, и для последующего времени, но относительно области, которая к этому времени t перешла в другую область G. Тогда можно будет с определенной степенью приближения говорить о движении области G в целом и заменить это движение движением точки в конфигурационном пространстве. Это движение совпадает с требуемыми уравнениями классической механики.