Основы специальной теории относительности и релятивистская механика

    Следует хорошо усвоить, что силы инерции действительно мифические, так как они не связаны ни с какими физическими взаимодействиями реальных физических тел.

    К силам инерции относятся, в частности, так называемые центробежные силы и силы Кориолиса.

    Пример 1. Определим силу F, стремящуюся растянуть, а потом и разорвать круговой обруч радиуса R массы M, равномерно вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью w .

     
 

    Рассмотрение проведем в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с обручем с угловой скоростью w, в которой обруч покоится. В этой системе любая малая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da. Кроме реальных физических сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F, действующие со 

      

    стороны примыкающих к обоим концам элемента остальных частей обруча и стремящиеся растянуть этот элемент обруча), надо рассмотреть теперь также и мифическую центробежную силу F_цб., действующую на элемент нашего обруча. При этом, согласно закону центробежной силы, на бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da, действует сила

     ,

    где k- масса в расчете на единицу длины обруча, или линейная плотность массы, т.е. k=M/2pR .

    Сумма трех векторов сил,  действующих на рассматриваемый бесконечно малый элемент, должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в рассматриваемой неинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,

      

     или

      

     и окончательно получаем

      

    Пример 2. Найти угол наклона к горизонтали свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной плоскости, имеющей угол наклона к горизонту a.

    Рассмотрение снова удобно вести в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с сосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта неинерциальная система равномерно ускоренно движется вниз вдоль наклонной  плоскости с ускорением a=g sin a.

    Таким образом, на каждую малую жидкую частицу массы m в этой инерциальной системе действует не только сила тяжести F=mg, направленная вертикально вниз, но и сила инерции F_ин.=ma, направленная в противоположную сторону движения, т.е. вверх вдоль наклонной плоскости.

    Жидкость в прямоугольном сосуде как бы находится в однородном поле новых сил тяжести, имеющих ускорение g', которое составляет некоторый угол b с вертикалью. Следовательно, свободная поверхность жидкости в скатывающемся сосуде, перпендикулярная направлению нового ускорения g', будет составлять такой же угол b с горизонтальной плоскостью. Найдем угол b. Имеем косоугольный треугольник 

      
 

    Применим к нему теорему синусов 

     ,

     ,

    sin b(1-sin²a)=cos b sin a cos a,

    sin b cos a =cos b sin a,

    tg b=tg a. 

    Следовательно, искомый угол b равен углу a, т.е. свободная по верхность жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосуде будет параллельна наклонной плоскости. 

    4. Астрономические и земные измерения скорости света. 

    Впервые скорость света была измерена в конце XVII в. в 1675 г. датским астрономом О.Ремером (1644-1710), который смог найти ее значение из наблюдений за спутниками Юпитера- четырьмя  "медичейскими звездами", открытыми Галилеем в 1610 г. В настоящее время открыто 11 спутников Юпитера.

    Периоды обращений этих спутников порядка нескольких дней; они малы по сравнению с периодом обращения Юпитера (12 лет) и Земли (1 год) вокруг Солнца. Ремер наблюдал за первым спутников Юпитера с периодом обращения 42 час 28 мин. Он заметил, что когда Земля двигалась по своей орбите, удаляясь от Юпитера, период обращения спутника становился длиннее. Когда Земля, наоборот, приближалась к Юпитеру, период обращения спутника становился короче. Ремер из этих наблюдений сделал правильный вывод, - что разность максимального и минимального периодов обращений спутника равна времени, необходимого свету для прохождения расстояния равного диаметру земной орбиты.

    Орбита Юпитера, как и других планет, лежит приблизительно в плоскости орбиты Земли - в плоскости эклиптики; все планеты вращаются в одну сторону.

     
 

    На рисунке L обозначает расстояние между Землей и спутником Юпитера в тот момент, когда он входит в тень Юпитера. Момент затмения наблюдается на Земле с запаздыванием, равным  Dt=L/c, где c - скорость распространения света в межзвездной среде - эфире. Очевидно время запаздывания минимально или максимально, когда расстояние между Юпитером и Землей, соответственно, минимально или максимально.

    Рассмотрим сначала наблюдаемый с Земли интервал времени T между двумя последовательными затмениями спутника, т.е. период обращения спутника вокруг Юпитера. Обозначим через T₀ истинный интервал времени между двумя последовательными затмениями, или истинный период обращения спутника вокруг Юпитера.

    Рассмотрим, например, для определенности случай, когда Земля движется по направлению к Юпитеру со скоростью v. Тогда первое затмение спутника мы зафиксируем на Земле с запаздыванием, равным l/c, где l - расстояние от Земли до Юпитера в момент первого затмения, c - скорость света. Второе затмение спутника мы зафиксируем на Земле немного с другим запаздыванием, равным (l-Dl)/c, где Dl - расстояние, пройденное Землей к Юпитеру за время T₀, прошедшее между двумя последовательными затмениями. Таким образом, отличие наблюдаемого  периода T между двумя затмениями и истинного периода T-0 между ними равно 

     ; 

     но очевидно , а потому 

     , 

    т.е. наблюдаемый с Земли период обращения T оказывается меньше истинного периода T₀ .

    Если теперь Земля удаляется от Юпитера со скоростью v , то отличие наблюдаемого периода T обращение спутника от истинного периода T₀ будет равно 

     , 

     т.е. наблюдаемый с Земли  период  обращения спутника T окажется больше истинного периода T₀.

    Предположим теперь, что мы будем наблюдать затмения спутника Юпитера в течение полугода, когда Земля перемещается из точки A в точку C. 

    

    Если наблюдать два последовательных затмения с Земли, находящейся в некоторой промежуточной точке M на своей орбите, то очевидно 

      

    

    где f - угол ASM, который равен f =2pt/T₃ , где t- время, протекающее с момента, когда Земля находилась в точке A своей орбиты, T₃ - период обращения Земли вокруг своей орбиты. В течение полугода, когда Земля перемещается вдоль пути ABC, изменение периода варьируется от DT=0 в точке A до максимального значения DT=T₀v/c в точке B и вновь до значения DT=0 в точке C .

    Возьмем сумму изменений периода DT за полгода:

    

    где k-номер наблюдаемого  периода.

     Очевидно сумму

    

    можно рассматривать как интегральную сумму для следующего интеграла

    

    так как t_k=kT₀, Dt_k=T₀. Вычисляя приведенный интеграл , находим

    

    Следовательно приходим к формуле

    

    т.е. сумма изменений наблюдаемых с Земли периодов обращения спутника за полгода равна времени, которое требуется свету для прохождения диаметра земной орбиты.

    Если в первую половину года, когда Земля двигалась по пути ABC, т.е. удаляясь от Юпитера, наблюдаемые с Земли периоды T_k обращения спутника были больше истинного периода T₀, то во вторую половину года, когда Земля будет двигаться по пути CDA, т.е. приближаясь к Юпитеру, наблюдаемые периоды T_k обращения спутника будут меньше истинного периода T₀ причем для второй половины года

    

    Таким образом, истинное значение периода T₀ обращения спутника вокруг Юпитера можно определить, составив сумму наблюдаемых периодов T_К обращения спутника за год и разделив её на полное число N наблюдаемых за год периодов:

    

    Сам Ремер получил заниженное значение скорости света, равное приблизительно с=214000км/с, при этом его ошибка в основном объяснялась неточным знанием значения диаметра земной орбиты. Фактически Ремер привел не значение для скорости света, а значение для времени требующемуся для свету на прохождение расстояния от Солнца до Земли, которое он считал равным 11 мин=660 сек (на самом деле это время равно примерно 8 мин 20 сек=500 сек). Позднее, уже в 18 и 19 веках Деламбр (1790 г.) дал значение времени 493,2 сек. и Глазенап (1874 г.) - значение  500,8 сек. Сэмпсон в 1909 г. приводит значение 498,79 0,02 сек. Неровности поверхности Юпитера ведут к неизбежным ошибкам времени наблюдений затмений спутника.

    Следующее, тоже астрономическое измерение скорости света было произведено английским астрономом Дж.Д.Брэдли (1692-1762). В 1728 г. он нашел правильное объяснение увиденного им необычного явления в движении звезд, которое было названо вскоре аберрацией.

    Одной из важнейших задач наблюдательной астрономии последних десятилетий XVII в. и первых десятилетий XVIII в. было обнаружение параллаксов звёзд, необходимость наблюдений которых непосредственно вытекала из коперниковой системы мироздания, а их отсутствие служило существенным доводом против этой системы; здесь речь идет, конечно, не о суточных, а о так называемых годичных параллаксах (“суточный” - это угол, под которым виден радиус Земли с небесного тела; “годичный” - это угол, под которым виден с небесного тела радиус орбиты Земли вокруг Солнца). Брэдли как раз и стремился обнаружить эти так называемые “годичные параллаксы”, то есть углы растворов конусов, отбрасываемых на небесную сферу линиями визирования, направленными на звезду с различных точек земной орбиты. Однако вместо параллаксов (которые вследствие их чрезвычайной малости из-за огромной удаленности звезд от Земли впервые были измерены только в конце XIX в. Бесселем, то есть через 100 лет после Брэдли ), Брэдли открыл не параллакс, а аберрацию.

      

    

    На рисунке показано, как образуются звездой круговые траектории на небесной сфере для звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. На левом рисунке проиллюстрировано явление годичного параллакса, на правом - явление аберрации. Видим, что положения звезды на круге при параллаксе и при аберрации для фиксированного положения Земли на орбите разные; они различаются поворотом на 90⁰.

    Брэдли наблюдал за ежесуточными проходами через меридиан звезды g в голове созвездия Дракона, находящейся вблизи полюса эклиптик. Начав наблюдения в декабре 1725 г., Брэдли заметил, что эта звезда всё более отклонялась к югу. Её смещение достигло 20`` к началу марта. Затем звезда на несколько дней остановилась, а затем стала снова двигаться, но теперь в обратную сторону - к северу. К июню звезда заняла свое прежнее положение, какое у неё было в декабре, прошла его и в течение второго полугодия проделала точно такой же путь на север и обратно. Это движение звезды нельзя было объяснить как результат параллакса (если бы это было годовое параллактическое движение, то движение звезды к югу должно начаться не в декабре, а в марте, а движение её к северу не в июне, - а в сентябре) и Брэдли догадался, что наблюдаемый им эффект обязан конечности скорости распространения света и годичному движению Земли по своей орбите.