Осесимметричная затопленная струя

Исходя из дифференциального уравнения теплопроводности для слоя потока жидкости, можно найти закон распределения температуры в струе:

                                      .           (23)

В процессе турбулентного перемешивания  частицы жидкости переносят с  места на место содержащиеся в  них тепло и примеси. Температура  и концентрация примесей являются однотипными скалярными параметрами жидких частиц. Поэтому распределение примесей в турбулентной струе должно подчиняться тем же законам, что и распределение температур:

                                     .           (24)

 

8. Общие зависимости, характеризующие 

осесимметричную струю

 

Уравнение движения (22), теплообмена (23), и диффузии примеси (24) получены с помощью теории свободной турбулентности Прандтля, основывающейся на предположении об одинаковости механизмов турбулентного переноса количества движения, тепла и примеси. Решение этих уравнений дает возможность построить картину течения жидкости тепловых и диффузионных процессов в струе.

На рис. 3.9 схематически изображена свободная струя, разделенная на начальный и основной участки. Поместим начало координат в полюс струи.

Рис. 3.9. Свободная струя, разделенная на начальный и основной участки

 

Для того чтобы  исключить из уравнения движения (22) экспериментальную константу, полагаем:

                                                 .                (25)

Выберем систему координат:

                                                   ,               (26)

где - эмпирическая константа, характеризующая структуру струи. По экспериментальным данным для осесимметричной струи а » 0,07.

Основываясь на свойствах  струи, рассмотренных ранее, можно  вывести:

1) Осевая скорость для основного  участка струи круглого сечения:

                                          .              (27)

2) В  переходном сечении струи, от  которого начинается основной  участок, осевая скорость равна  скорости истечения.

                                                 ,                      (28)

откуда найдем абсциссу (безразмерное расстояние от полюса) переходного  сечения струи:

                                                                         .                            (29)

3) Для вычисления  геометрических параметров начального  участка струи используют формулу (29), а безразмерная ордината границы основного участка =3,4. Отсюда находят глубину полюса:

                                    (30)

длину начального участка:   

                                               (31)

коэффициент структуры потока в  начальном участке:

                                                                               (32)

ординату внутренней границы поперечного слоя:

                                                                              (33)

и ординату внешней границы начального участка струи:

                                                       .               (34)

 

4) Закон падения температуры  вдоль оси основного участка  турбулентной струи круглого  сечения записывается в виде:

.                           (35)

5) Профили концентрации примесей  в струе:

                                                 .                    (36)

где - избыточная концентрация точки струи; – избыточная концентрация в начальном сечении струи; – избыточная концентрация на оси соответствующего поперечного сечения струи.

 

4. Расчет затопленной струи несжимаемой жидкости

 

По вышеприведенным формулам произведем расчет осесимметричной струи с начальными параметрами:

 

 

 

Схема осесимметричной затопленной струи для рассматриваемого случая выглядит следующим образом (рис. 4.1):

Рис. 4.1. Схема осесимметричной затопленной струи

 

Найдем полюс струи, который лежит глубже начального сечения струи на расстоянии от него, равном:

 

где - глубина полюса, _{- радиус начального сечения струи,} - экспериментальный коэффициент, равный .

Отсюда, подставляя начальные данные струи, в рассматриваемом  случае при _{получим глубину полюса:}

 

Проведем через полюс струи и через выходную кромку сопла лучи внешней границы струи. Тангенс угла расширения внешней границы равен:

 

При значение будет равно:

 

Отсюда угол

 

Далее определим местоположение переходного сечения струи:

 

 

Подставляя численные значения, найдем:

 

 

Радиус переходного сечения является постоянной величиной и не зависит от структуры струи. Для его определения используют соотношение:

 

 

Отсюда радиус переходного сечения в нашем случае:

 

 

Соединим центр переходного сечения с кромкой сопла и таким образом получим границу ядра постоянных скоростей

Тангенс угла сужения границы ядра постоянных скоростей равен:

 

 

При значение будет равно:

 

Отсюда угол

Угол расширения пограничного слоя начального участка  струи состоит из суммы углов и :

 

 

Ширина пограничного слоя в произвольном сечении начального участка определяется зависимостью:

 

Отсюда выражаем :

 

Таким образом, ширина пограничного слоя зависит от расстояния . Поэтому зададим ряд значений и определим при каждом из них ширину .

 

	0,3	0,6	1,0	1,3	1,6	2,0	2,39
	102,9	205,8	343	445,9	548,8	686	819,7

 

Полный радиус струи на заданном расстоянии от сопла определяется равенством:

 

 

Отсюда выражая , получим:

 

 

Аналогично предыдущему случаю зададим ряд значений и определим при каждом из них полный радиус струи .

 

	0,3	0,6	1,0	1,3	1,6	2,0	2,39
	0,32	0,39	0,49	0,56	0,63	0,73	0,82

 

Определим осевую скорость на различных  участках струи.

В переходном сечении струи, т.е. для начального участка, осевая скорость равна скорости истечения:

 

 

Учитывая, что по условию , осевая скорость на начальном участке истечения равна:

 

 

Длина начального участка определяется выражением:

 

Выразим отсюда начального участка:

 

Подставив численные значения, получим:

 

Безразмерная осевая скорость для основного участка струи круглого сечения определяется выражением:

 

 

Перепишем это равенство с учетом, что , выразив при этом :

 

 

Очевидно, что значение скорости будет уменьшаться по мере увеличения длины . Зададим ряд значений и определим при каждом из них осевую скорость для основного участка струи :

 

	2,5	3	3,5	4	4,5	5	7,5	9	12
	136,03	119,13	105,97	95,42	86,79	79,58	56,24	47,83	36,81

 

Для исследуемого случая график изменения осевой скорости вдоль всей свободной струи приведен на рис. 4.2:

 

Рис. 4.2. Изменение скорости вдоль оси струи

 

 

 

Запишем закон падения температуры  вдоль оси основного участка  турбулентной струи круглого сечения:

 

 

В представленной зависимости - избыточная температура в начале исследуемой струи, заданная по условию.

Подставим численное значение , выразив при этом :

 

 

В ядре постоянных скоростей начального участка следует  полагать температуру постоянной и  равной температуре истечения . Однако на оси струи основного участка температура будет понижаться с увеличением длины . Зададим ряд значений и определим при каждом из них избыточную температуру на оси струи основного участка :

 

	2,39	3	3,5	4	4,5	5	7,5	9	12
	70,92	62,11	55,25	49,75	45,25	41,49	29,33	24,94	19,19

 

По полученным данным построим кривую падения температуры вдоль оси  струи при значении избыточной температуры  в начале струи .

 

Рис. 4.3. Кривая падения температуры вдоль оси струи

 

По результатам расчета получилось, что в начале основного участка струи () осевая температура ниже температуры истечения                 (). Это свидетельствует о том, что переходное сечение для профилей температуры расположено несколько ближе к началу струи, чем переходное сечение для профилей скорости.

Полученное  противоречие, не имеющее большого практического значения, можно устранить  введением особого переходного  участка струи, который расположится между начальным и основным участками. График тогда будет выглядеть следующим образом:

 

Рис. 4.4. Кривая падения температуры вдоль оси струи с учетом

 длины переходного  участка

 

Секундное количество воздуха, протекающее сквозь поперечное сечение основного участка струи, равно:

 

Расход воздуха в долях от его величины в начальном сечении выражается зависимостью:

 

 

В представленном выражении отношение:

 

А интеграл:

 

Тогда с учетом этого после преобразований формула безразмерной величины расхода воздуха в основном участке осесимметричной струи примет вид:

                                             .                 (37)

Расход  воздуха на начальном участке струи может быть представлен в виде суммы расходов ядра постоянных скоростей и пограничного слоя:

,

где - радиус ядра постоянных скоростей, - радиус внешней границы пограничного слоя. Если выразим расход в долях от начального расхода _, то получим:

.

Вычисление интегралов по таблицам [2] приводит к следующим значениям:

; .

 

Заменяя интегралы их численными значениями, получаем формулу для безразмерного значения расхода воздуха на начальном участке осесимметричной струи:

.                       (38)

Рассмотрим изменение расхода по длине струи (в долях от его величины в начальном сечении) в исследуемом нами случае, т.е. при _. Рассчитаем значение безразмерного расхода на начальном участке струи, при различных значениях , используя формулу (38):

 

	0	0,3	0,7	1	1,3	1,7	2,0	2,39
	0,63	0,81	1,06	1,24	1,43	1,67	1,85	2,09

 

Рассчитаем значение безразмерного расхода на основном участке струи, при различных значениях , используя формулу (37):

 

	2,39	3	4	5	6	7	9	12
	2,09	2,57	3,5	4,65	6,0	7,56	11,3	18,46

 

Проделав  расчет для переходного сечения  струи , можно сделать вывод о том, что формулы (37) и (38) дают одинаковые безразмерные значения расхода: