Осесимметричная затопленная струя

,

чем и доказывается то, что изотахи для безразмерной скорости являются лучами, которые пересекаются в полюсе струи. Прямолинейность изотах для безразмерной скорости _имеет место, как для осесимметричной, так и плоскопараллельной струи.

 

4. Изменение скорости вдоль оси затопленной струи

 

Статическое давление в струе, как показывают опыты, практически неизменно и равно давлению в окружающем пространстве. Благодаря этому полный импульс секундной массы воздуха во всех сечениях струи должен оставаться одним и тем же:

                                                    ,   

где - масса, протекающая в единицу времени через элемент поперечного сечения струи; - плотность воздуха; - площадь элемента сечения струи.

 

 

Для струи круглого сечения условие  постоянства импульса можно записать следующим образом:

                                              ,            (1)

где - скорость в центре данного сечения струи; - расстояние от данного сечения до полюса струи; - текущий радиус; r - радиус внешней границы рассматриваемого сечения струи.

Вследствие  универсальности скоростных профилей безразмерная скорость _{в выбранной точке зависит только от безразмерной координаты луча} , проведенного из полюса струи через эту точку:

.

Отсюда

.

В результате из равенства (1), получаем, что скорость в центре сечения осесимметричной затопленной струи обратно пропорциональна расстоянию от полюса:

                                                     .                                    (2)

Для плоскопараллельной затопленной струи постоянство  импульса приводит к соотношению:

,                    (3)

где b - полутолщина сечения струи. Вследствие универсальности профилей скорости

.

Поэтому закон падения скорости вдоль  оси плоскопараллельной струи имеет  следующий вид:                        

                                                             .                (4)

Константы пропорциональности в выражениях (2) и (4) определяются значениями интегралов из выражений (1) и (3), для вычисления которых нужно располагать законами распределения скорости в поперечных сечениях струй. В силу универсальности профилей скорости для этого достаточно определить распределение скоростей экспериментальным путем хотя бы в одном сечении основного участка струи. Недостатком выражений (2) и (4) является то, что расстояния отсчитываются от полюса струи, а не от ее начального сечения. Зависимости (2) и (4) хорошо согласуются с опытными данными.

 

5. Перенос тепла в затопленной струе

 

В инженерной практике часто приходится иметь  дело с затопленной струей, температура  в которой отличается от окружающей температуры.

Решение задачи о переносе тепла из покоящегося  воздуха в струю (и обратно) возможно лишь, после того как станут, известны законы изменения температуры вдоль струи и в ее поперечных сечениях.

Введем  в рассмотрение избыточные температуры:

а) разность между температурой в  данной точке струи и в окружающем пространстве:

,

б) разность между температурой на оси струи и в окружающем пространстве:

,

в) разность между температурой в начальном  сечении струи (в устье насадка) и в окружающем пространстве:

.

Характер распределения избыточных значений температуры в затопленной  струе, как показывают опыты, аналогичен характеру распределения скорости.

На рисунке 3.7 нанесены безразмерные избыточные значения температуры в координатах  , полученные С.Б. Старком в различных поперечных сечениях основного участка осесимметричной воздушной струи, вытекающей в неподвижный воздух. В опытах Старка использовалось сопло диаметром _{, скорость истечения} струи составляла _{и начал}ьная избыточная температура в струе

Помимо значений температуры на рис. 3.7 нанесены, снятые в тех же сечениях скоростные поля. Очевидным является, что экспериментальные кривые безразмерной скорости и избыточной безразмерной температуры, полученные в одном и том же поперечном сечении затопленной струи, не совпадают.

Рис. 3.7. Профили безразмерной температуры и

скорости в сечении струи

 

Закон распределения  температуры вдоль оси основного  участка струи можно установить тем же методом, что и закон скоростей, с той лишь разницей, что вместо постоянства импульса надо использовать постоянство энтальпии струи. Постоянство энтальпии свободной струи, подсчитанной по избыточным значениям температуры, выражается следующим соотношением:

                                            .             (5)

Для струи круглого сечения получим:

                                             .               (6)

Отметим, что в различных поперечных сечениях струи, линии безразмерных изотерм, аналогично изотахам, являются прямолинейными лучами, пересекающимися в полюсе струи:

                                                     ,              (7) 

где - расстояние от полюса струи до рассматриваемого сечения; - расстояние до выбранной точки от центра сечения, где температура - _.

 

Из условия (7) вытекает, что интеграл в соотношении (6) является постоянной величиной. Отсюда, учитывая зависимость (2), получим закон падения избыточной температуры вдоль оси струи круглого сечения:

                                                      .               (8)

Зависимость (8) совпадает с опытными данными. 

Докажем теорему о связи между средними температурами и средними скоростями. Из постоянства импульса в струе следует, что произведение секундной массы, протекающей через произвольное сечение струи, на некоторую среднюю скорость является постоянной величиной:

                                      , то есть .           (9)

В свою очередь, постоянство энтальпии указывает на то, что произведение массового расхода на среднюю избыточную температуру также не изменяется с переходом от сечения к сечения:

                                             , то есть .          (10)

Сравнивая между собой условия (9) и (10), обнаруживаем, что падение средней температуры вдоль свободной струи подчиняется тому же закону, что и падение средней скорости:

                                                  .            (11)            

Необходимо отметить, что условие (11), характеризующее соотношение средних величин, выполняется, несмотря на то, что температурные и скоростные профили в затопленной струе не подобны. Равенство (11) справедливо только для среднеквадратичной скорости, то есть в том случае, когда последняя получена путем осреднения по расходу:

;  .

 

6. Диффузия примесей в затопленной струе

 

Диффузия всякого рода примесей, находящихся иногда в струе во взвешенном состоянии, имеет много общего с распространением тепла.

На рис. 3.8 приведены профили безразмерной весовой концентрации углекислого газа, полученные Г.Н. Абрамовичем при экспериментальном исследовании основного участка плоскопараллельной струи углекислого газа, вытекающей в неподвижный чистый воздух:

,

где - весовая концентрация, то есть отношение весового содержания углекислого газа к весовому содержанию воздуха в единице объема в произвольной точке поперечного сечения струи; - весовая концентрация на оси струи; - расстояние от оси струи до точки измерения; - расстояние от оси струи до точки, в которой избыточная скорость вдвое меньше чем на оси.

Рис. 3.8. Профили безразмерной температуры, скорости и

весовой концентрации СО₂ в сечении струи

 

 

 

В тех  случая, когда примесь имеется  и в окружающей среде, целесообразно  ввести в рассмотрение понятие избыточной концентрации - , означающую разность между местной концентрацией примеси в струе и концентрацией той же примеси вне струи. Очевидно, что избыточное содержание примеси, равно как и избыточное значение энтальпии, одинаково в различных поперечных сечениях струи:

 

Условия постоянства избыточного  содержания примеси, а также афинность полей концентрации в поперечных сечениях дают возможность найти закон изменения концентрации примеси по оси струи.

В основном участке осесимметричной струи при условии сохранения избыточного содержания примеси, имеем:

 

где - избыточная концентрация примеси струи. Ввиду универсальности законов распределения скорости и концентрации в поперечных сечениях струи интеграл, стоящий в левой части равенства (12) есть величина постоянная, поэтому с учетом (2) получаем:

 

то есть избыточная концентрация примеси на оси основного участка затопленной струи круглого сечения обратно пропорциональна расстоянию от полюса струи.

В случае плоской  струи постоянство избыточного  содержания примеси выражается равенства:

                                              .           (14)

Следовательно, аналогично предыдущим случаям можно  написать, что избыточная концентрация примеси по оси основного участка плоскопараллельной затопленной струи изменяется обратно пропорционально корню квадратному из рассеяния до полюса струи:

                                                       .                      (15)

 

 

 

 

Исходя  из того же условия сохранения избыточного  содержания примеси, получается, что  безразмерное значение средней по расходу  концентрации примеси равно безразмерному значению средней по расходу скорости, которая в свою очередь, как показано в предыдущем пункте, равно безразмерному значению средней избыточной температуры:

 

где - разность между средним по расходу значением концентрации в данном сечении струи и концентрацией той же примеси в окружающей среде .

Итак, поля безразмерных значений избыточной концентрации примеси  и избыточной температуры совпадают  между собой; это объясняется  тем, что механизм переноса тепла и примесей в турбулентном потоке один и тот же.

 

7. Теория "пути смешения" Прандтля

 

В 1925 году Л. Прандтль предложил простую и наглядную модель переноса субстанции между слоями осредненного турбулентного движения. Модель Прандтля заключается в допущении о том, что вихревая масса во все время перемещения из начального слоя в конечный, сохраняет свое отличие в импульсе и только в момент смешения сразу теряет свою индивидуальность, вызвав тем самым в этом конечном слое возмущение в осредненной скорости. Это возмущение принимается пропорциональным расстоянию между начальным и конечным слоями и величине разности между осредненными скоростями в этих слоях . По мысли Прандтля, данное возмущение в осредненной скорости слоя является причиной возникновения в нем пульсационной скорости с проекциями и :

                                                       ~ ;  ~ .         (17)

Эта центральная  формула теории Прандтля приводит к  выражению касательной, составляющей напряжения в случае рассматриваемого простейшего прямолинейного сдвигового движения:

.

Если  условится понимать под  напряжение трения, приложенное к верхней границе слоя со стороны области больших скоростей ( >0) и, кроме того, ввести осредненную длину , то предыдущее выражение для примет окончательный вид:

.              (18)

Единственную  остающуюся здесь неопределенной величину l Прандтль назвал путем смешения. Чтобы не делать оговорки о знаке , Прандтль предложил предать формуле (30) вид:

                                                        .           (19)

Сущность теории свободной турбулентности Прандтля состоит в следующем. Ввиду отсутствия (для случая струи) стенок, вблизи которых путь смешения обычно уменьшается, предполагается, что в поперечном направлении путь смешения не изменяется:

                                                            .                      (20)

Итак, если струя распространяется в направлении  оси , то имеется зависимость: , что при подстановки в (19) дает:

                                                        ,                    (21)

где - единственная эмпирическая постоянная теории свободной турбулентности Прандтля. Используя выражение (21), можно получить уравнение двухмерного движения из теории свободной турбулентности Прандтля:

                                                  .          (22)